1. Considere a função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dada por
f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} \frac{x+1}{2-\sqrt{3-x}} & \text { se } & x<-1 \\ a & \text { se } & x=-1 \\ & & \\ \frac{x^{3}-x^{2}-5 x-3}{x^{4}-2 x^{3}-x^{2}-4 x-6} & \text { se } & -1<x<3 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá uma função definida por partes:
f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} \displaystyle \frac{x+1}{2-\sqrt{3-x}} & \text{se} & x<-1,\\[6pt] a & \text{se} & x=-1,\\[6pt] \displaystyle \frac{x^{3}-x^{2}-5x-3}{x^{4}-2x^{3}-x^{2}-4x-6} & \text{se} & -1<x<3. \end{array}\right.
O que normalmente se pede numa questão assim é: calcular os limites laterais de f em x=-1 (isto é, \lim_{x\to-1^-}f(x) e \lim_{x\to-1^+}f(x)) e decidir se existe algum valor de a que torne f contínua em x=-1.
Vou, então, computar os limites laterais de forma detalhada e usar a definição de continuidade: f é contínua em x=-1 se e somente se existir \lim_{x\to-1}f(x) e esse limite for igual a f(-1)=a. Se as duas limites laterais existirem e forem diferentes, a limite bilateral não existe e não há escolha de a que garanta continuidade.]

Passo 2

Cálculo da limite pela esquerda \lim_{x\to-1^-}f(x).
Para x<-1,
f(x)=\frac{x+1}{2-\sqrt{3-x}}.
Ao aproximar x de -1 pelo lado esquerdo, o numerador x+1\to0 e o denominador 2-\sqrt{3-x}\to 2-\sqrt{4}=0. Temos uma forma indeterminada 0/0. Uma técnica clássica para remover a raiz no denominador é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador.
Multiplico por \dfrac{2+\sqrt{3-x}}{2+\sqrt{3-x}}:
\frac{x+1}{2-\sqrt{3-x}}\cdot\frac{2+\sqrt{3-x}}{2+\sqrt{3-x}} =\frac{(x+1)\bigl(2+\sqrt{3-x}\bigr)}{(2)^2-(\sqrt{3-x})^2}.
O denominador simplifica usando a^2-b^2:
(2)^2-(\sqrt{3-x})^2=4-(3-x)=1+x.
Portanto
\frac{x+1}{2-\sqrt{3-x}}=\frac{(x+1)\bigl(2+\sqrt{3-x}\bigr)}{1+x}.
Observe que 1+x=x+1, então para x\neq-1 é legítimo simplificar x+1 em numerador e denominador:
\frac{(x+1)\bigl(2+\sqrt{3-x}\bigr)}{1+x}=2+\sqrt{3-x}.
Assim, para x próximo de -1 (à esquerda), f(x)=2+\sqrt{3-x}. Agora basta avaliar o limite:
\lim_{x\to-1^-}f(x)=\lim_{x\to-1^-}\bigl(2+\sqrt{3-x}\bigr)=2+\sqrt{3-(-1)}=2+\sqrt{4}=2+2=4.
Portanto a limite pela esquerda é 4.
Comentário didático rápido: a multiplicação pelo conjugado é uma técnica padrão para eliminar raízes no denominador e obter uma expressão que permita cancelamento de fatores que causam indeterminação.

Passo 3

Cálculo da limite pela direita \lim_{x\to-1^+}f(x).
Para -1<x<3,
f(x)=\frac{x^{3}-x^{2}-5x-3}{x^{4}-2x^{3}-x^{2}-4x-6}.
Ao aproximar x de -1 pela direita, tanto numerador quanto denominador tendem a zero (verificação por substituição direta: para x=-1 ambos dão zero), então novamente temos 0/0 e devemos fatorar para ver se há cancelamento de um fator (x+1).
Fatorando o numerador x^{3}-x^{2}-5x-3:
faço divisão sintética por x+1 (ou avalio polinomicamente). Usando divisão por -1 nos coeficientes 1,\,-1,\,-5,\,-3:
  • Trazer 1;
  • multiplicar por -1 -1, somar a -1 -2;
  • multiplicar por -1 2, somar a -5 -3;
  • multiplicar por -1 3, somar a -3 0.
Portanto o numerador se escreve
x^{3}-x^{2}-5x-3=(x+1)(x^{2}-2x-3).
Factorizando o quadrático:
x^{2}-2x-3=(x-3)(x+1).
Logo
x^{3}-x^{2}-5x-3=(x+1)(x-3)(x+1)=(x+1)^2(x-3).
Agora fatorando o denominador x^{4}-2x^{3}-x^{2}-4x-6. Novamente divido por x+1 (uso divisão sintética com -1 nos coeficientes 1,-2,-1,-4,-6):
  • Trazer 1;
  • \times(-1)=-1, soma com -2 -3;
  • \times(-1)=3, soma com -1 2;
  • \times(-1)=-2, soma com -4 -6;
  • \times(-1)=6, soma com -6 0.
Assim
x^{4}-2x^{3}-x^{2}-4x-6=(x+1)(x^{3}-3x^{2}+2x-6).
Verifica-se que x=3 zera o polinômio cúbico x^{3}-3x^{2}+2x-6 (substituir x=3 27-27+6-6=0), então x-3 é fator. Dividindo o cúbico por x-3 (divisão sintética com 3 nos coeficientes 1,-3,2,-6):
  • Trazer 1;
  • \times3=3, soma com -3 0;
  • \times3=0, soma com 2 2;
  • \times3=6, soma com -6 0.
Portanto
x^{3}-3x^{2}+2x-6=(x-3)(x^{2}+0x+2)=(x-3)(x^{2}+2).
Combinando,
x^{4}-2x^{3}-x^{2}-4x-6=(x+1)(x-3)(x^{2}+2).
Substituindo as fatorações no quociente:
\frac{x^{3}-x^{2}-5x-3}{x^{4}-2x^{3}-x^{2}-4x-6} =\frac{(x+1)^2(x-3)}{(x+1)(x-3)(x^{2}+2)}.
Para x\neq -1 e x\neq 3 podemos cancelar os fatores comuns (x+1) e (x-3), obtendo a forma simplificada válida em -1<x<3:
f(x)=\frac{x+1}{x^{2}+2}.
Agora é direto avaliar a limite pela direita:
\lim_{x\to-1^+}f(x)=\lim_{x\to-1^+}\frac{x+1}{x^{2}+2}=\frac{-1+1}{(-1)^{2}+2}=\frac{0}{1+2}=0.
Portanto a limite pela direita é 0.
Comentário didático rápido: fatorar polinômios e cancelar fatores comuns é a técnica padrão para resolver indeterminações do tipo 0/0 em quocientes racionais. Divisão sintética é uma maneira eficiente de verificar e extrair fatores lineares como x+1 ou x-3.

Passo 4

Comparação das duas limites e conclusão sobre continuidade.
Encontramos
\lim_{x\to-1^-}f(x)=4
e
\lim_{x\to-1^+}f(x)=0.
Como as duas limites laterais são diferentes, a limite bilateral \lim_{x\to-1}f(x) não existe. Pela definição de continuidade num ponto, não existe nenhum valor de a tal que f seja contínua em x=-1, porque para ser contínua em -1 seria necessário \lim_{x\to-1}f(x) existir e ser igual a a; aqui a limite não existe.
Dica final amiga: mesmo que se escolha a=4 ou a=0, isso só faria f coincidir com uma das limites laterais, mas não com a outra — a continuidade exige que os dois lados coincidam. Então não tem como.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to-1^-}f(x)=4
\displaystyle \lim_{x\to-1^+}f(x)=0
Não existe valor de a que torne f contínua em x=-1.

Exercícios relacionados