O que normalmente se pede numa questão assim é: calcular os limites laterais de f em x=-1 (isto é, \lim_{x\to-1^-}f(x) e \lim_{x\to-1^+}f(x)) e decidir se existe algum valor de a que torne f contínua em x=-1.
Vou, então, computar os limites laterais de forma detalhada e usar a definição de continuidade: f é contínua em x=-1 se e somente se existir \lim_{x\to-1}f(x) e esse limite for igual a f(-1)=a. Se as duas limites laterais existirem e forem diferentes, a limite bilateral não existe e não há escolha de a que garanta continuidade.]
Passo 2
Cálculo da limite pela esquerda \lim_{x\to-1^-}f(x).
Para x<-1,
f(x)=\frac{x+1}{2-\sqrt{3-x}}.
Ao aproximar x de -1 pelo lado esquerdo, o numerador x+1\to0 e o denominador 2-\sqrt{3-x}\to 2-\sqrt{4}=0. Temos uma forma indeterminada 0/0. Uma técnica clássica para remover a raiz no denominador é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador.
Multiplico por \dfrac{2+\sqrt{3-x}}{2+\sqrt{3-x}}:
Comentário didático rápido: a multiplicação pelo conjugado é uma técnica padrão para eliminar raízes no denominador e obter uma expressão que permita cancelamento de fatores que causam indeterminação.
Passo 3
Cálculo da limite pela direita \lim_{x\to-1^+}f(x).
Ao aproximar x de -1 pela direita, tanto numerador quanto denominador tendem a zero (verificação por substituição direta: para x=-1 ambos dão zero), então novamente temos 0/0 e devemos fatorar para ver se há cancelamento de um fator (x+1).
Fatorando o numerador x^{3}-x^{2}-5x-3:
faço divisão sintética por x+1 (ou avalio polinomicamente). Usando divisão por -1 nos coeficientes 1,\,-1,\,-5,\,-3:
Trazer 1;
multiplicar por -1 dá -1, somar a -1 dá -2;
multiplicar por -1 dá 2, somar a -5 dá -3;
multiplicar por -1 dá 3, somar a -3 dá 0.
Portanto o numerador se escreve
x^{3}-x^{2}-5x-3=(x+1)(x^{2}-2x-3).
Factorizando o quadrático:
x^{2}-2x-3=(x-3)(x+1).
Logo
x^{3}-x^{2}-5x-3=(x+1)(x-3)(x+1)=(x+1)^2(x-3).
Agora fatorando o denominador x^{4}-2x^{3}-x^{2}-4x-6. Novamente divido por x+1 (uso divisão sintética com -1 nos coeficientes 1,-2,-1,-4,-6):
Trazer 1;
\times(-1)=-1, soma com -2 dá -3;
\times(-1)=3, soma com -1 dá 2;
\times(-1)=-2, soma com -4 dá -6;
\times(-1)=6, soma com -6 dá 0.
Assim
x^{4}-2x^{3}-x^{2}-4x-6=(x+1)(x^{3}-3x^{2}+2x-6).
Verifica-se que x=3 zera o polinômio cúbico x^{3}-3x^{2}+2x-6 (substituir x=3 dá 27-27+6-6=0), então x-3 é fator. Dividindo o cúbico por x-3 (divisão sintética com 3 nos coeficientes 1,-3,2,-6):
Comentário didático rápido: fatorar polinômios e cancelar fatores comuns é a técnica padrão para resolver indeterminações do tipo 0/0 em quocientes racionais. Divisão sintética é uma maneira eficiente de verificar e extrair fatores lineares como x+1 ou x-3.
Passo 4
Comparação das duas limites e conclusão sobre continuidade.
Encontramos
\lim_{x\to-1^-}f(x)=4
e
\lim_{x\to-1^+}f(x)=0.
Como as duas limites laterais são diferentes, a limite bilateral \lim_{x\to-1}f(x) não existe. Pela definição de continuidade num ponto, não existe nenhum valor de a tal que f seja contínua em x=-1, porque para ser contínua em -1 seria necessário \lim_{x\to-1}f(x) existir e ser igual a a; aqui a limite não existe.
Dica final amiga: mesmo que se escolha a=4 ou a=0, isso só faria f coincidir com uma das limites laterais, mas não com a outra — a continuidade exige que os dois lados coincidam. Então não tem como.
Resposta
\displaystyle \lim_{x\to-1^-}f(x)=4 \displaystyle \lim_{x\to-1^+}f(x)=0
Não existe valor de a que torne f contínua em x=-1.