Calcule os seguintes limites, caso existam, e justifique (inclusive caso não exista):
( \mathbf{1} pt) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(2^{x}-1\right) \operatorname{sen}(3 x)}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to 0}\frac{\left(2^{x}-1\right)\operatorname{sen}(3x)}{x^{2}}.
Informações dadas:
  • A variável tende para \,0.
  • A expressão no numerador é o produto de \,2^{x}-1 e \operatorname{sen}(3x).
    O que é pedido: determinar o valor desse limite, se existir, e justificar (inclusive caso não exista).

Passo 2

Primeira transformação útil (álgebra simples): escrever a fração como produto de duas razões que têm limites conhecidos. Temos
\frac{\left(2^{x}-1\right)\operatorname{sen}(3x)}{x^{2}} = \left(\frac{2^{x}-1}{x}\right)\left(\frac{\operatorname{sen}(3x)}{x}\right).
Se existirem os limites de cada fator à direita e forem finitos, o limite do produto é o produto dos limites. Então vamos calcular
L_1=\lim_{x\to 0}\frac{2^{x}-1}{x} \qquad\text{e}\qquad L_2=\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(3x)}{x}.

Passo 3

Cálculo de L_1=\lim_{x\to 0}\dfrac{2^{x}-1}{x}.
Usar a identidade exponencial \,2^{x}=e^{x\ln 2}. Então
\frac{2^{x}-1}{x}=\frac{e^{x\ln 2}-1}{x}.
Faça a substituição \,u=x\ln 2. Quando x\to 0 tem-se u\to 0 e x=\dfrac{u}{\ln 2}. Assim
\frac{e^{x\ln 2}-1}{x}=\frac{e^{u}-1}{u}\cdot \ln 2.
É um fato clássico (que pode ser visto pela série de Taylor de e^{u} ou pela derivada de e^{u} em 0) que
\lim_{u\to 0}\frac{e^{u}-1}{u}=1.
Portanto
L_1=\lim_{x\to 0}\frac{2^{x}-1}{x}=\ln 2.
(Aqui, intuitivamente, \frac{e^{u}-1}{u}=1+\tfrac{u}{2}+\cdots, então tende a 1 quando u\to 0.)

Passo 4

Cálculo de L_2=\lim_{x\to 0}\dfrac{\operatorname{sen}(3x)}{x}.
Escreve-se
\frac{\operatorname{sen}(3x)}{x}=3\cdot\frac{\operatorname{sen}(3x)}{3x}.
É outro fato clássico (provável lembrar da prova geométrica ou da série de Taylor de \sin t) que
\lim_{t\to 0}\frac{\operatorname{sen} t}{t}=1.
Aplicando com t=3x (quando x\to 0 temos t\to 0) obtemos
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(3x)}{3x}=1.
Logo
L_2=\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(3x)}{x}=3\cdot 1=3.

Passo 5

Combinar os limites: como L_1 e L_2 existem e são finitos, o limite do produto é o produto dos limites. Portanto
\lim_{x\to 0}\frac{\left(2^{x}-1\right)\operatorname{sen}(3x)}{x^{2}} = L_1\cdot L_2 = (\ln 2)\cdot 3=3\ln 2.
Intuição rápida: para x muito pequeno tem-se 2^{x}-1\approx x\ln 2 e \operatorname{sen}(3x)\approx 3x, então o numerador fica aproximado por (x\ln 2)\cdot(3x)=3\ln 2\;x^{2}, daí a razão tende a 3\ln 2.

Resposta

3\ln 2

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