Calcule os seguintes limites, caso existam, e justifique (inclusive caso não exista):
(
pt)
(
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do limite
Informações dadas:
- A variável tende para
. - A expressão no numerador é o produto de
e .
O que é pedido: determinar o valor desse limite, se existir, e justificar (inclusive caso não exista).
Passo 2
Primeira transformação útil (álgebra simples): escrever a fração como produto de duas razões que têm limites conhecidos. Temos
Se existirem os limites de cada fator à direita e forem finitos, o limite do produto é o produto dos limites. Então vamos calcular
Passo 3
Cálculo de
.
Usar a identidade exponencial
. Então
Faça a substituição
. Quando
tem-se
e
. Assim
É um fato clássico (que pode ser visto pela série de Taylor de
ou pela derivada de
em
) que
Portanto
(Aqui, intuitivamente,
, então tende a
quando
.)
Passo 4
Cálculo de
.
Escreve-se
É outro fato clássico (provável lembrar da prova geométrica ou da série de Taylor de
) que
Aplicando com
(quando
temos
) obtemos
Logo
Passo 5
Combinar os limites: como
e
existem e são finitos, o limite do produto é o produto dos limites. Portanto
Intuição rápida: para
muito pequeno tem-se
e
, então o numerador fica aproximado por
, daí a razão tende a
.