1. (2 pts) Se x é um número real tal que \operatorname{sen}(x)=\sqrt{a-\frac{1}{2}} \mathrm{e} \cos (x)=a-1, determine a.
  2. Considere a função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dada por
f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} \frac{\operatorname{sen}(4 x+8)}{x+2} & \text { se } & x<-2 \\\ a & \text { se } & x=-2 \\\ \frac{x^{3}+4 x^{2}+x-6}{x^{3}-3 x+2} & \text { se } & -2<x<1 \end{array}\right.

Passo 1

Vou separar claramente o que cada item dá e o que pede.
Item 3:
  • Dados: \operatorname{sen}(x)=\sqrt{a-\tfrac{1}{2}} e \cos(x)=a-1, com x real.
  • Pergunta: determinar a (valor(es) de a real que permitem que exista um x real satisfazendo as duas igualdades simultaneamente).
Item 4:
  • Dados: função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por
f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} \displaystyle \frac{\operatorname{sen}(4x+8)}{x+2} & \text{se} & x<-2,\\[6pt] a & \text{se} & x=-2,\\[4pt] \displaystyle \frac{x^{3}+4x^{2}+x-6}{x^{3}-3x+2} & \text{se} & -2<x<1. \end{array}\right.
  • Interpretação razoável do que é pedido (enunciado não explicita): verificar se existe algum valor de a que torne f contínua em \mathbb{R}. Para isso preciso estudar a continuidade em x=-2 (ponto onde o valor a atua) e também analisar o comportamento em x=1 (ponto limítrofe do último ramo, onde pode haver singularidade).]

Passo 2

Item 3 — usar a identidade trigonométrica fundamental para relacionar a.
  • Lembrete útil: para qualquer x real vale \operatorname{sen}^2(x)+\cos^2(x)=1.
  • Substituo as expressões dadas:
\left(\sqrt{a-\tfrac{1}{2}}\right)^{2} + (a-1)^{2} = 1.
  • Isso simplifica para uma equação em a. Vou desenvolver passo a passo:
a-\tfrac{1}{2} + (a-1)^{2} = 1.

Passo 3

Continuando a resolução algébrica do item 3:
  • Expandindo (a-1)^{2}:
(a-1)^{2}=a^{2}-2a+1.
  • Substituindo na equação:
a-\tfrac{1}{2} + a^{2}-2a+1 = 1.
  • Agrupando termos semelhantes:
a^{2}-a + \left(1-\tfrac{1}{2}\right) = 1.
  • Note que 1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}. Então:
a^{2}-a+\tfrac{1}{2}=1.
  • Subtraindo 1 dos dois lados:
a^{2}-a+\tfrac{1}{2}-1=0 \quad\Longrightarrow\quad a^{2}-a-\tfrac{1}{2}=0.
  • Multiplico por 2 para evitar frações:
2a^{2}-2a-1=0.

Passo 4

Resolver a quadrática 2a^{2}-2a-1=0:
  • A fórmula quadrática dá
a=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^{2}-4\cdot2\cdot(-1)}}{2\cdot2} =\frac{2\pm\sqrt{4+8}}{4} =\frac{2\pm\sqrt{12}}{4}.
  • Como \sqrt{12}=2\sqrt{3}, obtemos
a=\frac{2\pm 2\sqrt{3}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{3}}{2}.
  • Então existem duas soluções candidatas: \displaystyle a_{1}=\frac{1+\sqrt{3}}{2} e \displaystyle a_{2}=\frac{1-\sqrt{3}}{2}.

Passo 5

Item 3 — checar quais dessas soluções são realmente admissíveis pelas equações originais (domínio das expressões).
  • Condição 1: \operatorname{sen}(x)=\sqrt{a-\tfrac{1}{2}} exige que a-\tfrac{1}{2}\ge 0 (argumento da raiz não pode ser negativo) e que o lado direito seja \ge 0 (a raiz principal é não-negativa).
  • Condição 2: \cos(x)=a-1 exige que -1\le a-1\le 1, i.e. 0\le a\le 2.
Verificação de cada candidato:
  • Para a_{1}=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}:
    • a_{1}-\tfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}>0 → raiz válida.
    • a_{1}-1=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}. Numericamente \dfrac{1{,}732-1}{2}\approx 0{,}366, que está em [-1,1]. Portanto ambas as condições são satisfeitas.
  • Para a_{2}=\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}:
    • a_{2}-\tfrac{1}{2}=\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}-\tfrac{1}{2}=\dfrac{-\sqrt{3}}{2}<0. Isso torna \sqrt{a_{2}-\tfrac{1}{2}} não real, logo a_{2} é descartado.
Conclusão do item 3: somente a=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2} é aceitável.

Passo 6

Item 4 — estudar continuidade em x=-2. Vou calcular os limites laterais e comparar com a.
  • Definição rápida: uma função f é contínua em x_{0} se \lim_{x\to x_{0}^{-}} f(x)=\lim_{x\to x_{0}^{+}} f(x)=f(x_{0}). Aqui f(-2)=a (valor dado) e preciso \lim_{x\to -2^{-}} f(x)=\lim_{x\to -2^{+}} f(x)=a.
Calcular \displaystyle \lim_{x\to -2^{-}} \frac{\operatorname{sen}(4x+8)}{x+2}:
  • Faço a substituição t=x+2. Quando x\to -2 temos t\to 0.
  • Note que 4x+8 = 4(x+2)=4t. Então a expressão fica
\frac{\operatorname{sen}(4x+8)}{x+2}=\frac{\operatorname{sen}(4t)}{t}.
  • Lembrete de limite fundamental: \displaystyle \lim_{u\to 0}\frac{\operatorname{sen}(u)}{u}=1.
  • Aplicando com u=4t:
\frac{\operatorname{sen}(4t)}{t} = 4\cdot\frac{\operatorname{sen}(4t)}{4t} \xrightarrow[t\to 0]{} 4\cdot 1 = 4.
  • Portanto
\lim_{x\to -2^{-}} f(x)=4.

Passo 7

Item 4 — calcular o limite pela direita em -2: \displaystyle \lim_{x\to -2^{+}} \frac{x^{3}+4x^{2}+x-6}{x^{3}-3x+2}.
  • Primeiro verifico substituição direta: para x=-2 tanto numerador quanto denominador são zero — indeterminação do tipo 0/0. Isso indica que x+2 provavelmente é fator comum e dá para simplificar.
  • Faço a fatoração (divisão por x+2):
Numerador: dividir x^{3}+4x^{2}+x-6 por x+2:
  • Resultado da divisão é (x+2)(x^{2}+2x-3).
  • E x^{2}+2x-3 fatora como (x+3)(x-1).
  • Logo numerador =(x+2)(x+3)(x-1).
Denominador: dividir x^{3}-3x+2 por x+2:
  • Resultado é (x+2)(x^{2}-2x+1).
  • E x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}.
  • Logo denominador =(x+2)(x-1)^{2}.
  • Cancelando o fator comum x+2 (válido para x\neq -2), para -2<x<1 a expressão simplifica para
\frac{x^{3}+4x^{2}+x-6}{x^{3}-3x+2}=\frac{(x+2)(x+3)(x-1)}{(x+2)(x-1)^{2}}=\frac{x+3}{x-1}\quad (x\neq -2,\,x\neq 1).
  • Agora avalio o limite quando x\to -2^{+}:
\lim_{x\to -2^{+}} \frac{x+3}{x-1}=\frac{-2+3}{-2-1}=\frac{1}{-3}=-\tfrac{1}{3}.
  • Portanto
\lim_{x\to -2^{+}} f(x)=-\tfrac{1}{3}.

Passo 8

Item 4 — comparar limites laterais em -2 e concluir sobre continuidade aí.
  • Obtivemos \lim_{x\to -2^{-}} f(x)=4 e \lim_{x\to -2^{+}} f(x)=-\tfrac{1}{3}.
  • Como os limites laterais não coincidem, o limite \lim_{x\to -2} f(x) não existe.
  • Consequência: NÃO HÁ nenhum valor de a que torne f contínua em x=-2. Mesmo escolhendo a igual a um dos valores, não se pode corrigir a falta de coincidência entre os dois limites laterais.
Observação didática rápida: para uma descontinuidade removível seria necessário que os dois limites laterais fossem iguais, aí bastaria tomar a igual a esse valor. Aqui a descontinuidade é essencial (saltante) em -2.

Passo 9

Item 4 — analisar o comportamento em x=1 (borda do último ramo).
  • Depois de simplificar a fração obtivemos, para x próximo de 1 mas x\neq 1:
\frac{x^{3}+4x^{2}+x-6}{x^{3}-3x+2}=\frac{x+3}{x-1}.
  • Ao aproximar x de 1 pela esquerda (valores em (-2,1)), o denominador x-1 tende a 0 com sinal negativo, enquanto o numerador tende a 1+3=4 (positivo). Portanto
\lim_{x\to 1^{-}} f(x)=\lim_{x\to 1^{-}} \frac{x+3}{x-1} = -\infty.
  • O limite pelo lado esquerdo diverge para -\infty, ou seja, há uma assíntota vertical em x=1.
  • Como não existe limite finito em x=1, não há nenhuma forma de definir f(1) que torne f contínua em 1.

Passo 10

Item 4 — conclusão global sobre possibilidade de escolher a para continuidade em \mathbb{R}.
  • Em -2 os limites laterais são diferentes ( 4 e -\tfrac{1}{3}), por isso não existe qualquer escolha de a que torne f contínua em -2.
  • Em 1 a função tem limite infinito pela esquerda (assíntota vertical), portanto também não há como estender f para ter continuidade em 1.
  • Conclusão: não existe valor de a que torne f contínua em todo \mathbb{R}. A função é descontínua em -2 (saltante) e tem assíntota vertical em 1.

Resposta

  1. a=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}.
  2. Não existe valor de a que torne f contínua em \mathbb{R} (em x=-2 os limites laterais são 4 e -\tfrac{1}{3}; em x=1 há assíntota vertical, \lim_{x\to 1^{-}}f(x)=-\infty).

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