Interpretação razoável do que é pedido (enunciado não explicita): verificar se existe algum valor de a que torne f contínua em \mathbb{R}. Para isso preciso estudar a continuidade em x=-2 (ponto onde o valor a atua) e também analisar o comportamento em x=1 (ponto limítrofe do último ramo, onde pode haver singularidade).]
Passo 2
Item 3 — usar a identidade trigonométrica fundamental para relacionar a.
Lembrete útil: para qualquer x real vale \operatorname{sen}^2(x)+\cos^2(x)=1.
Então existem duas soluções candidatas: \displaystyle a_{1}=\frac{1+\sqrt{3}}{2} e \displaystyle a_{2}=\frac{1-\sqrt{3}}{2}.
Passo 5
Item 3 — checar quais dessas soluções são realmente admissíveis pelas equações originais (domínio das expressões).
Condição 1: \operatorname{sen}(x)=\sqrt{a-\tfrac{1}{2}} exige que a-\tfrac{1}{2}\ge 0 (argumento da raiz não pode ser negativo) e que o lado direito seja \ge 0 (a raiz principal é não-negativa).
Condição 2: \cos(x)=a-1 exige que -1\le a-1\le 1, i.e. 0\le a\le 2.
a_{1}-1=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}. Numericamente \dfrac{1{,}732-1}{2}\approx 0{,}366, que está em [-1,1]. Portanto ambas as condições são satisfeitas.
Para a_{2}=\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}:
a_{2}-\tfrac{1}{2}=\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}-\tfrac{1}{2}=\dfrac{-\sqrt{3}}{2}<0. Isso torna \sqrt{a_{2}-\tfrac{1}{2}} não real, logo a_{2} é descartado.
Conclusão do item 3: somente a=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2} é aceitável.
Passo 6
Item 4 — estudar continuidade em x=-2. Vou calcular os limites laterais e comparar com a.
Definição rápida: uma função f é contínua em x_{0} se \lim_{x\to x_{0}^{-}} f(x)=\lim_{x\to x_{0}^{+}} f(x)=f(x_{0}). Aqui f(-2)=a (valor dado) e preciso \lim_{x\to -2^{-}} f(x)=\lim_{x\to -2^{+}} f(x)=a.
Item 4 — calcular o limite pela direita em -2: \displaystyle \lim_{x\to -2^{+}} \frac{x^{3}+4x^{2}+x-6}{x^{3}-3x+2}.
Primeiro verifico substituição direta: para x=-2 tanto numerador quanto denominador são zero — indeterminação do tipo 0/0. Isso indica que x+2 provavelmente é fator comum e dá para simplificar.
Faço a fatoração (divisão por x+2):
Numerador: dividir x^{3}+4x^{2}+x-6 por x+2:
Resultado da divisão é (x+2)(x^{2}+2x-3).
E x^{2}+2x-3 fatora como (x+3)(x-1).
Logo numerador =(x+2)(x+3)(x-1).
Denominador: dividir x^{3}-3x+2 por x+2:
Resultado é (x+2)(x^{2}-2x+1).
E x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}.
Logo denominador =(x+2)(x-1)^{2}.
Cancelando o fator comum x+2 (válido para x\neq -2), para -2<x<1 a expressão simplifica para
Item 4 — comparar limites laterais em -2 e concluir sobre continuidade aí.
Obtivemos \lim_{x\to -2^{-}} f(x)=4 e \lim_{x\to -2^{+}} f(x)=-\tfrac{1}{3}.
Como os limites laterais não coincidem, o limite \lim_{x\to -2} f(x) não existe.
Consequência: NÃO HÁ nenhum valor de a que torne f contínua em x=-2. Mesmo escolhendo a igual a um dos valores, não se pode corrigir a falta de coincidência entre os dois limites laterais.
Observação didática rápida: para uma descontinuidade removível seria necessário que os dois limites laterais fossem iguais, aí bastaria tomar a igual a esse valor. Aqui a descontinuidade é essencial (saltante) em -2.
Passo 9
Item 4 — analisar o comportamento em x=1 (borda do último ramo).
Depois de simplificar a fração obtivemos, para x próximo de 1 mas x\neq 1:
Ao aproximar x de 1 pela esquerda (valores em (-2,1)), o denominador x-1 tende a 0 com sinal negativo, enquanto o numerador tende a 1+3=4 (positivo). Portanto
O limite pelo lado esquerdo diverge para -\infty, ou seja, há uma assíntota vertical em x=1.
Como não existe limite finito em x=1, não há nenhuma forma de definir f(1) que torne f contínua em 1.
Passo 10
Item 4 — conclusão global sobre possibilidade de escolher a para continuidade em \mathbb{R}.
Em -2 os limites laterais são diferentes (4 e -\tfrac{1}{3}), por isso não existe qualquer escolha de a que torne f contínua em -2.
Em 1 a função tem limite infinito pela esquerda (assíntota vertical), portanto também não há como estender f para ter continuidade em 1.
Conclusão: não existe valor de a que torne f contínua em todo \mathbb{R}. A função é descontínua em -2 (saltante) e tem assíntota vertical em 1.
Resposta
a=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}.
Não existe valor de a que torne f contínua em \mathbb{R} (em x=-2 os limites laterais são 4 e -\tfrac{1}{3}; em x=1 há assíntota vertical, \lim_{x\to 1^{-}}f(x)=-\infty).