Calcule os seguintes limites, caso existam:
lim x -2 2 x^3+9 x^2+12 x+4-x^3-2 x^2+4 x+8

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto -22x^3+9x^2+12x+4-x^3-2x^2+4x+8
ou seja, é um limite de função racional que dá uma indeterminação do tipo 0/0. Para resolver, vamos usar fatoração de polinômios e simplificação de fatores comuns.

Passo 2

Tentar a substituição direta x=-2:
Numerador:
N(-2)=2(-2)^3+9(-2)^2+12(-2)+4=-16+36-24+4=0
Denominador:
D(-2)=-(-2)^3-2(-2)^2+4(-2)+8=8-8-8+8=0
Logo temos indeterminação 0/0.

Passo 3

Fatoramos o numerador por divisão polinomial ou reconhecimento de raiz x=-2. O resultado é
2x^3+9x^2+12x+4=(x+2)^2(2x+1)

Passo 4

Fatoramos o denominador de forma análoga:
-x^3-2x^2+4x+8=-(x^3+2x^2-4x-8)=-(x+2)^2(x-2)

Passo 5

Cancelamos o fator (x+2)^2 comum e escrevemos
2x^3+9x^2+12x+4-x^3-2x^2+4x+8 =(x+2)^2(2x+1)-(x+2)^2(x-2) =-2x+1x-2

Passo 6

Basta agora calcular
limxto -2l(-2x+1x-2r) =-2(-2)+1-2-2 =--3-4 =-34times(-1) =-34

Resposta

-tfrac34

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