Determine os valores da constante lambda para que o problema de fronteira possua soluções não triviais para um L>0 :
ly^prime prime+lambda y=0 y(0)=0, y(L)=0

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor de contorno
y''+lambda y=0, y(0)=0,;y(L)=0
com L>0.
O conteúdo aqui é encontrar os autovalores lambda para os quais existem soluções não triviais. Para isso, vamos analisar separadamente os casos lambda>0, lambda=0 e lambda<0.

Passo 2

Suponha lambda>0 e defina k=raizlambda>0. A equação fica
y''+k^2y=0,
cuja solução geral é
y(x)=Acos(kx)+Bsin(kx)
Impondo y(0)=0 vem
y(0)=Acdot1+Bcdot0=0implies A=0,
logo
y(x)=Bsin(kx)
Para ter solução não trivial precisamos de Bneq0 e então
y(L)=Bsin(kL)=0implies sin(kL)=0implies kL=npi, ninN
Portanto
k=npiLLongrightarrow lambda=k^2=l(npiLr)^2

Passo 3

Se lambda=0, a equação é
y''=0,
cuja solução geral é y(x)=Ax+B. As condições de contorno dão
y(0)=B=0, y(L)=A,L=0implies A=0,
logo só existe a solução trivial.

Passo 4

Se lambda<0, defina mu=raiz-lambda>0. A equação vira
y''-mu^2y=0,
com solução geral
y(x)=A e^mu x+B e^-mu x
Impondo y(0)=0 A+B=0, ou seja y(x)=Csinh(mu x). Então
y(L)=Csinh(mu L)=0
e como sinh(mu L)neq0 para mu>0 segue C=0, só a solução trivial.

Resposta

lambda=l(npiLr)^2, com n=1,2,3,dots.

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