Se n é um número natural, qual é a derivada de ordem n da função y=(a x+b)^n ?

Passo 1

O enunciado pede a derivada de ordem n da função y=(a x+b)^n, onde n é natural. O conteúdo envolve a regra do poder e a regra da cadeia para derivadas sucessivas de uma função do tipo (linear)^n.

Passo 2

Aplicando a regra do poder e a regra da cadeia uma vez, obtemos a primeira derivada:
y' = ddx(a x+b)^n = n(a x+b)^n-1cdotddx(a x+b) = n,a,(a x+b)^n-1

Passo 3

Derivando de novo, usamos o mesmo procedimento sobre y'. A segunda derivada fica
y'' = ddxl[n,a,(a x+b)^n-1r] = n,a,(n-1)(a x+b)^n-2cdot a = n(n-1),a^2,(a x+b)^n-2

Passo 4

Vendo o padrão, a derivada de ordem k é
y^(k) = n(n-1)cdots(n-k+1);a^k;(a x+b)^,n-k
Aqui usamos que a cada derivada reduzimos o expoente em 1 (colhendo o fator correspondente) e multiplicamos de novo por a.

Passo 5

Para k=n, o produto n(n-1)cdots1 é n! e o fator (a x+b)^,n-n=(a x+b)^0=1. Logo,
y^(n) = n!;a^n

Resposta

y^(n) = n!,a^n

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