Se
é um número natural, qual é a derivada de ordem
da função
?
Passo 1
O enunciado pede a derivada de ordem
da função
, onde
é natural. O conteúdo envolve a regra do poder e a regra da cadeia para derivadas sucessivas de uma função do tipo
.
Passo 2
Aplicando a regra do poder e a regra da cadeia uma vez, obtemos a primeira derivada:
Passo 3
Derivando de novo, usamos o mesmo procedimento sobre
. A segunda derivada fica
Passo 4
Vendo o padrão, a derivada de ordem
é
Aqui usamos que a cada derivada reduzimos o expoente em 1 (colhendo o fator correspondente) e multiplicamos de novo por
.
Passo 5
Para
, o produto
é
e o fator
. Logo,