Considere a equação
phi(t)+integral0^t k(t-xi) phi(xi) d xi=f(t)
na qual f e k são funções conhecidas e phi deve ser determinada. Como a função desconhecida phi aparece sob o sinal de integral, a equação dada é dita uma equação integral; em particular pertence a classe de equações integrais conhecidas como equações de Volterra. Considere a equação integral de Volterra
phi(t)+integral0^t k(t-xi) phi(xi) d xi=sin t
a) Resolva a equação integral de Volterra ( i ) usando a transformada de Laplace;
b) Diferenciando duas vezes a equação ( i ), mostre que phi(t) satisfaz a equação diferencial phi^prime prime(t)+phi(t)=-4 sin 2 t. Mostre também que as condições iniciais são phi(0)=0 e phi^prime(0)=2.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação integral de Volterra
phi(t) + integral0^t k(t-xi),phi(xi),dxi = sin t
e depois mostrar, por diferenciação, que phi satisfaz
phi''(t)+phi(t)=-4sin2t
com phi(0)=0 e phi'(0)=2. Mas não foi fornecida a forma explícita de k(t). Sem conhecer k(t) não podemos fazer nem a transformada de Laplace de k, nem diferenciar a convolução de modo a obter o termo -4sin2t.

Resposta

Não há como resolver a parte (a) nem demonstrar a parte (b) porque a função k(t) não foi especificada.

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