Calcule os seguintes limites, caso existam:
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite de uma função de duas variáveis quando $x,y)\ se aproxima de (0,0). O conteúdo principal aqui é cálculo de limites em várias dimensões e o Teorema do Confronto (ou do Aperto). Para resolver, vamos usar que a função (\sin(t)$ é limitada entre -1 e 1 e aplicar desigualdades para “apertar” nosso limite.
Passo 2
Primeiro, usamos que para todo número real
vale
. Logo,
Passo 3
Multiplicando essa desigualdade por
em valor absoluto (para tratar o caso geral quando
é positivo ou negativo) obtemos
Passo 4
Em seguida, observamos que
. Definindo
, fica
Passo 5
Como quando $x,y)\ se aproxima de (0,0) temos (r = \sqrt{x2+y2} \to 0$, a desigualdade
mostra, pelo Teorema do Confronto, que o limite da função também tende a 0.
Passo 6
Portanto, o limite existe e é zero.
Resposta
0