Calcule os seguintes limites, caso existam:
lim (x, y) (0,0) 3 x cdot sen(1x^2+y^2);

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite de uma função de duas variáveis quando $x,y)\ se aproxima de (0,0). O conteúdo principal aqui é cálculo de limites em várias dimensões e o Teorema do Confronto (ou do Aperto). Para resolver, vamos usar que a função (\sin(t)$ é limitada entre -1 e 1 e aplicar desigualdades para “apertar” nosso limite.

Passo 2

Primeiro, usamos que para todo número real u vale -1 <= sin(u) <= 1. Logo,
-1 <= sinl(tfrac1x^2+y^2r) <= 1

Passo 3

Multiplicando essa desigualdade por 3x em valor absoluto (para tratar o caso geral quando x é positivo ou negativo) obtemos
|3x,sinl(tfrac1x^2+y^2r)| <= 3|x| cdot 1 = 3|x|

Passo 4

Em seguida, observamos que |x| <= raizx^2+y^2. Definindo r = raizx^2+y^2, fica
|3x,sin(1/(x^2+y^2))| <= 3|x| <= 3r

Passo 5

Como quando $x,y)\ se aproxima de (0,0) temos (r = \sqrt{x2+y2} \to 0$, a desigualdade
x,y) se aproxima de (0,0) temos (r = raizx^2+y^2 to 0
mostra, pelo Teorema do Confronto, que o limite da função também tende a 0.

Passo 6

Portanto, o limite existe e é zero.

Resposta

0

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