Calcule os seguintes limites, caso existam:
lim (x, y) (1,2) x yx^2+y^2;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente tem que calcular o limite de xyx^2 + y^2 quando (x, y) se aproxima de (1, 2). Nesse caso, estamos lidando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta perto do ponto (1, 2) e verificar se o limite existe e qual é o valor.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente os valores de x e y por 1 e 2, respectivamente, na função xyx^2 + y^2. Isso nos dá:
1 times 21^2 + 2^2 = 21 + 4 = 25

Passo 3

Mas não é só isso! Para garantir que o limite realmente existe, precisamos verificar se o valor permanece o mesmo quando nos aproximamos de (1, 2) por diferentes caminhos. Vamos testar alguns caminhos simples:
Caminho 1: Mantendo x = 1 e deixando y se aproximar de 2.
1 times y1^2 + y^2 21 + 4 = 25
Caminho 2: Mantendo y = 2 e deixando x se aproximar de 1.
x times 2x^2 + 2^2 21 + 4 = 25
Em ambos os caminhos, o resultado é 25. Isso sugere que o limite é consistente.

Passo 4

Finalmente, para ter certeza completa, podemos considerar uma abordagem geral onde nos aproximamos de (1, 2) por qualquer caminho. Como o resultado foi o mesmo em diferentes caminhos, podemos concluir que o limite existe e é igual a 25.

Resposta

O limite é 25.

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