A reta y=2 x+3 intersecta a circunferência x^2+y^2=25 em dois pontos distintos. Determine as coordenadas desses pontos.

Passo 1

Vamos resumir o problema: queremos encontrar os pontos onde a reta $ y = 2x + 3 $ corta a circunferência $ x^{2} + y^{2} = 25 $. Para resolver isso, vamos usar álgebra para encontrar as coordenadas desses pontos de interseção, substituindo a equação da reta na da circunferência e resolvendo a equação resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir a expressão de $ y $ da reta na equação da circunferência. Isso nos permitirá ter uma equação apenas em termos de $ x $.

Passo 3

Substituindo $ y = 2x + 3 $ na circunferência:
y = 2x + 3

Passo 4

Agora, vamos expandir $ (2x + 3)^{2} $:
(2x + 3)^2

Passo 5

Substituindo de volta na equação:
x^2 + 4x^2 + 12x + 9 = 25

Passo 6

Somando os termos semelhantes:
5x^2 + 12x + 9 = 25

Passo 7

Subtraindo 25 de ambos os lados para igualar a zero:
5x^2 + 12x - 16 = 0

Passo 8

Agora, temos uma equação quadrática. Vamos resolver para $ x $ usando a fórmula de Bhaskara:
x
Aqui, $ a = 5 $, $ b = 12 $, e $ c = -16 $.

Passo 9

Calculando o discriminante ($ \Delta $):
De

Passo 10

Calculando as raízes:
x = -12 pm raiz46410
Simplificando $ \sqrt{464} = \sqrt{16 \times 29} = 4\sqrt{29} $:
raiz464 = raiz16 times 29 = 4raiz29
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por 2:
x = -12 pm 4raiz2910

Passo 11

Agora que temos os valores de $ x $, vamos encontrar os correspondentes valores de $ y $ usando $ y = 2x + 3 $.
Para $ x = \frac{-6 + 2\sqrt{29}}{5} $:
x
Para $ x = \frac{-6 - 2\sqrt{29}}{5} $:
y

Resposta

Os pontos de interseção são:
( -6 + 2raiz295, 3 + 4raiz295 )
e
( -6 - 2raiz295, 3 - 4raiz295 )

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