A reta
intersecta a circunferência
em dois pontos distintos. Determine as coordenadas desses pontos.
Passo 1
Vamos resumir o problema: queremos encontrar os pontos onde a reta $ y = 2x + 3 $ corta a circunferência $ x^{2} + y^{2} = 25 $. Para resolver isso, vamos usar álgebra para encontrar as coordenadas desses pontos de interseção, substituindo a equação da reta na da circunferência e resolvendo a equação resultante.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir a expressão de $ y $ da reta na equação da circunferência. Isso nos permitirá ter uma equação apenas em termos de $ x $.
Passo 3
Substituindo $ y = 2x + 3 $ na circunferência:
Passo 4
Agora, vamos expandir $ (2x + 3)^{2} $:
Passo 5
Substituindo de volta na equação:
Passo 6
Somando os termos semelhantes:
Passo 7
Subtraindo 25 de ambos os lados para igualar a zero:
Passo 8
Agora, temos uma equação quadrática. Vamos resolver para $ x $ usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, $ a = 5 $, $ b = 12 $, e $ c = -16 $.
Passo 9
Calculando o discriminante ($ \Delta $):
Passo 10
Calculando as raízes:
Simplificando $ \sqrt{464} = \sqrt{16 \times 29} = 4\sqrt{29} $:
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por 2:
Passo 11
Agora que temos os valores de $ x $, vamos encontrar os correspondentes valores de $ y $ usando $ y = 2x + 3 $.
Para $ x = \frac{-6 + 2\sqrt{29}}{5} $:
Para $ x = \frac{-6 - 2\sqrt{29}}{5} $:
Resposta
Os pontos de interseção são:
e