Calcule os seguintes limites, caso existam.
, onde
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
onde foi dado
. Ou seja:
- Informação dada:
. - Pedido: o valor do limite
para fixo qualquer (ou seja, calcular esse limite em função de ).
Passo 2
Vamos reescrever a diferença
usando uma identidade trigonométrica. A identidade soma-diferença para seno é
Aplicando com
e
obtemos
Essa identidade é útil porque expressa a diferença em termos de
de uma quantidade pequena
.
Passo 3
Substituímos a expressão acima no quociente do limite:
Agora fatoramos de forma conveniente:
Passo 4
Reescrevemos o segundo fator de maneira padrão para usar um limite conhecido. Note que
Então o quociente fica
Passo 5
Fazemos a substituição
. Quando
temos
. Em termos de
o quociente é
e o limite pedido torna-se
Passo 6
Agora usamos duas propriedades de limites:
- A função
é contínua, logo
Explicação curta:
implica
, e continuidade significa que o coseno do limite é o limite do coseno.
- O limite fundamental trigonométrico
é clássico. Uma justificativa usual (esquemática) é usar o círculo trigonométrico e a desigualdade
para
, e então estender ao caso simétrico
; por essa desigualdade (teorema do aperto) o limite é
.
Como ambos os limites existem, o limite do produto é o produto dos limites:
Passo 7
Portanto o limite pedido é
Um exemplo rápido para fixar: se
, o limite vira
; se
, dá
. Isso bate com a intuição de que o quociente dá a inclinação instantânea da curva da senoide.