Calcule os seguintes limites, caso existam.
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}, onde f(x)=\operatorname{sen}(x);

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},
onde foi dado f(x)=\operatorname{sen}(x). Ou seja:
  • Informação dada: f(x)=\operatorname{sen}(x).
  • Pedido: o valor do limite \lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} para x fixo qualquer (ou seja, calcular esse limite em função de x).

Passo 2

Vamos reescrever a diferença f(x+h)-f(x) usando uma identidade trigonométrica. A identidade soma-diferença para seno é
\sin A - \sin B = 2\cos\!\biggl(\frac{A+B}{2}\biggr)\sin\!\biggl(\frac{A-B}{2}\biggr).
Aplicando com A=x+h e B=x obtemos
\sin(x+h)-\sin x = 2\cos\!\biggl(x+\frac{h}{2}\biggr)\sin\!\biggl(\frac{h}{2}\biggr).
Essa identidade é útil porque expressa a diferença em termos de \sin de uma quantidade pequena \frac{h}{2}.

Passo 3

Substituímos a expressão acima no quociente do limite:
\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h} = \frac{2\cos\!\bigl(x+\tfrac{h}{2}\bigr)\sin\!\bigl(\tfrac{h}{2}\bigr)}{h}.
Agora fatoramos de forma conveniente:
\frac{2\cos\!\bigl(x+\tfrac{h}{2}\bigr)\sin\!\bigl(\tfrac{h}{2}\bigr)}{h} = \cos\!\biggl(x+\frac{h}{2}\biggr)\cdot\frac{2\sin\!\bigl(\tfrac{h}{2}\bigr)}{h}.

Passo 4

Reescrevemos o segundo fator de maneira padrão para usar um limite conhecido. Note que
\frac{2\sin\!\bigl(\tfrac{h}{2}\bigr)}{h} = \frac{\sin\!\bigl(\tfrac{h}{2}\bigr)}{\tfrac{h}{2}}.
Então o quociente fica
\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h} = \cos\!\biggl(x+\frac{h}{2}\biggr)\cdot\frac{\sin\!\bigl(\tfrac{h}{2}\bigr)}{\tfrac{h}{2}}.

Passo 5

Fazemos a substituição u=\dfrac{h}{2}. Quando h\to 0 temos u\to 0. Em termos de u o quociente é
\cos(x+u)\cdot\frac{\sin u}{u},
e o limite pedido torna-se
\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h} = \lim_{u\to 0}\cos(x+u)\cdot\frac{\sin u}{u}.

Passo 6

Agora usamos duas propriedades de limites:
  1. A função \cos é contínua, logo
\lim_{u\to 0}\cos(x+u)=\cos x.
Explicação curta: u\to 0 implica x+u\to x, e continuidade significa que o coseno do limite é o limite do coseno.
  1. O limite fundamental trigonométrico
\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1
é clássico. Uma justificativa usual (esquemática) é usar o círculo trigonométrico e a desigualdade \cos u < \dfrac{\sin u}{u} < 1 para 0<u<\tfrac{\pi}{2}, e então estender ao caso simétrico u\to 0; por essa desigualdade (teorema do aperto) o limite é 1.
Como ambos os limites existem, o limite do produto é o produto dos limites:
\lim_{u\to 0}\cos(x+u)\cdot\frac{\sin u}{u} = \Bigl(\lim_{u\to 0}\cos(x+u)\Bigr)\cdot\Bigl(\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}\Bigr) = \cos x \cdot 1.

Passo 7

Portanto o limite pedido é
\cos x.
Um exemplo rápido para fixar: se x=0, o limite vira \cos 0=1; se x=\tfrac{\pi}{2}, dá \cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0. Isso bate com a intuição de que o quociente dá a inclinação instantânea da curva da senoide.

Resposta

\cos x

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