Calcule os seguintes limites, caso existam.
, onde
;
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
onde foi dada a função
por
.
Informações importantes fornecidas:
Informações importantes fornecidas:
- A função é
. - Queremos o limite da diferença quociente
quando . - Não há valores numéricos adicionais; o resultado deverá ficar em função de
.
Passo 2
Vamos escrever explicitamente a diferença quociente substituindo
. Usando a fórmula da soma de ângulos
, temos:
Agora separamos os termos que dependem de
daqueles que dependem só de
. Agrupando:
Passo 3
Para calcular o limite quando
, vamos analisar os dois limites que aparecem:
Esses são limites padrões que usamos muito em derivadas de funções trigonométricas. Vou explicar cada um com calma.
Passo 4
Primeiro, o clássico
Intuição e demonstração curta: para
pequeno, pela geometria do círculo unitário existe a desigualdade
Ao fazer
obtemos
, logo pelo Teorema do Confronto (squeeze) segue que
. Para
o mesmo resultado vale (pela paridade/ímpar das funções ou aplicando o mesmo argumento ao
), então o limite para
é
.
Passo 5
Agora o segundo limite:
Uma forma direta de ver isso é usar a identidade
. Substituindo,
Como já sabemos que
, o fator
tende a
quando
. O outro fator é
que tende a
. Portanto o produto tende a
, ou seja
.
Passo 6
Voltando à expressão do Passo 2 e aplicando os limites que encontramos, temos:
Assim o limite da diferença quociente é
Passo 7
Interpretação final e dica para a prova: esse limite é exatamente a definição de derivada de
em
. Portanto concluímos que a derivada de
é
. Um exemplo rápido: em
obtemos
. Vai dar tudo certo na prova — você já tem a técnica: usar a fórmula da soma de ângulos e os limites padrão
e
.