Calcule os seguintes limites, caso existam.
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}, onde f(x)=\cos (x);

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
onde foi dada a função f por f(x)=\cos(x).
Informações importantes fornecidas:
  • A função é f(x)=\cos(x).
  • Queremos o limite da diferença quociente \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} quando h\to 0.
  • Não há valores numéricos adicionais; o resultado deverá ficar em função de x.

Passo 2

Vamos escrever explicitamente a diferença quociente substituindo f(x)=\cos(x). Usando a fórmula da soma de ângulos \cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b, temos:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{\cos(x+h)-\cos x}{h} =\frac{\cos x\cos h-\sin x\sin h-\cos x}{h}.
Agora separamos os termos que dependem de h daqueles que dependem só de x. Agrupando:
\frac{\cos(x+h)-\cos x}{h} =\cos x\cdot\frac{\cos h-1}{h}-\sin x\cdot\frac{\sin h}{h}.

Passo 3

Para calcular o limite quando h\to 0, vamos analisar os dois limites que aparecem:
\lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{h} \quad\text{e}\quad \lim_{h\to 0}\frac{\cos h-1}{h}.
Esses são limites padrões que usamos muito em derivadas de funções trigonométricas. Vou explicar cada um com calma.

Passo 4

Primeiro, o clássico
\lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{h}=1.
Intuição e demonstração curta: para h>0 pequeno, pela geometria do círculo unitário existe a desigualdade
\cos h \le \frac{\sin h}{h} \le 1.
Ao fazer h\to 0 obtemos \cos h\to 1, logo pelo Teorema do Confronto (squeeze) segue que \sin h/h\to 1. Para h<0 o mesmo resultado vale (pela paridade/ímpar das funções ou aplicando o mesmo argumento ao |h|), então o limite para h\to 0 é 1.

Passo 5

Agora o segundo limite:
\lim_{h\to 0}\frac{\cos h-1}{h}=0.
Uma forma direta de ver isso é usar a identidade \cos h-1=-2\sin^2\!\big(\tfrac{h}{2}\big). Substituindo,
\frac{\cos h-1}{h}=-2\cdot\frac{\sin^2\!\big(\tfrac{h}{2}\big)}{h} =-2\left(\frac{\sin\!\big(\tfrac{h}{2}\big)}{\tfrac{h}{2}}\right)^{\!2}\cdot\frac{h}{4}.
Como já sabemos que \displaystyle\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1, o fator \left(\dfrac{\sin(h/2)}{h/2}\right)^2 tende a 1 quando h\to 0. O outro fator é \dfrac{h}{4} que tende a 0. Portanto o produto tende a 0, ou seja \lim_{h\to 0}\dfrac{\cos h-1}{h}=0.

Passo 6

Voltando à expressão do Passo 2 e aplicando os limites que encontramos, temos:
\lim_{h\to 0}\left(\cos x\cdot\frac{\cos h-1}{h}-\sin x\cdot\frac{\sin h}{h}\right) =\cos x\cdot 0 - \sin x\cdot 1.
Assim o limite da diferença quociente é
-\sin x.

Passo 7

Interpretação final e dica para a prova: esse limite é exatamente a definição de derivada de f em x. Portanto concluímos que a derivada de \cos(x) é -\sin(x). Um exemplo rápido: em x=0 obtemos f'(0)=-\sin 0=0. Vai dar tudo certo na prova — você já tem a técnica: usar a fórmula da soma de ângulos e os limites padrão \sin h/h\to1 e (\cos h-1)/h\to0.

Resposta

-\sin x

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