Calcule os seguintes limites, caso existam.
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}, onde f(x)=(x-1)^{n}, \forall n \in \mathbb{N};

Passo 1

O que o exercício pede: calcular o limite
\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
onde foi dada a função f por
f(x)=(x-1)^{n},
e n é um número natural ( n\in\mathbb{N}). Informações relevantes que temos: x é um ponto genérico (qualquer real), h tende a zero, e n é um inteiro não-negativo (pensemos nos casos n=0 e n\ge 1). A expressão pedida é exatamente a definição do quociente diferencial (diferença quociente) de f em x.

Passo 2

Caso especial n=0. Se n=0 então f(x)=(x-1)^{0}=1 (função constante). Calcule o quociente:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{1-1}{h}=0.
Como essa expressão é exatamente 0 para todo h\neq 0, o limite quando h\to 0 é
0.
Portanto para n=0 o limite existe e vale 0.

Passo 3

Agora considere n\ge 1. Vamos expandir f(x+h)=(x+h-1)^{n}. Para isso usamos o Teorema Binomial: para quaisquer números a e b e inteiro n\ge 0,
(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{\,n-k}b^{\,k},
onde \displaystyle \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} é o coeficiente binomial. Aqui tomamos a=x-1 e b=h. Aplicando:
f(x+h)=(x-1+h)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}(x-1)^{\,n-k}h^{\,k}.

Passo 4

Subtraímos f(x)=(x-1)^{n} (que é o termo correspondente a k=0 na soma) para obter f(x+h)-f(x):
f(x+h)-f(x)=\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}(x-1)^{\,n-k}h^{\,k}.
Agora dividimos por h:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}(x-1)^{\,n-k}h^{\,k-1}.

Passo 5

Separe o primeiro termo da soma (o de k=1), porque ele não contém fator h restante:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}= \binom{n}{1}(x-1)^{\,n-1} + \sum_{k=2}^{n}\binom{n}{k}(x-1)^{\,n-k}h^{\,k-1}.
Note que \binom{n}{1}=n, então o primeiro termo é n(x-1)^{\,n-1}. Os termos da soma têm fatores h^{\,k-1} com k-1\ge 1, ou seja, cada um desses termos é proporcional a h.

Passo 6

Passe ao limite h\to 0. Como k-1\ge 1 para todos os índices na soma, temos h^{\,k-1}\to 0 quando h\to 0. Os coeficientes \binom{n}{k}(x-1)^{\,n-k} são números finitos (polinômios em x), então cada termo da soma tende a zero. Logo a soma inteira tende a 0. Assim
\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=n(x-1)^{\,n-1}.
Isto vale para todo n\ge 1. (Verificação rápida para n=1: dá 1, condiz com f(x)=x-1.)

Passo 7

Resumo final dos dois casos (para garantir que cobrimos n=0 e n\ge 1):
  • Se n=0, o limite é 0.
  • Se n\ge 1, o limite é n(x-1)^{\,n-1}.

Resposta

Se n=0: 0
Se n\ge 1: n(x-1)^{\,n-1}

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