Calcule os seguintes limites, caso existam.
, onde
;
Passo 1
O que o exercício pede: calcular o limite
onde foi dada a função
por
e
é um número natural (
). Informações relevantes que temos:
é um ponto genérico (qualquer real),
tende a zero, e
é um inteiro não-negativo (pensemos nos casos
e
). A expressão pedida é exatamente a definição do quociente diferencial (diferença quociente) de
em
.
Passo 2
Caso especial
. Se
então
(função constante). Calcule o quociente:
Como essa expressão é exatamente
para todo
, o limite quando
é
Portanto para
o limite existe e vale
.
Passo 3
Agora considere
. Vamos expandir
. Para isso usamos o Teorema Binomial: para quaisquer números
e
e inteiro
,
onde
é o coeficiente binomial. Aqui tomamos
e
. Aplicando:
Passo 4
Subtraímos
(que é o termo correspondente a
na soma) para obter
:
Agora dividimos por
:
Passo 5
Separe o primeiro termo da soma (o de
), porque ele não contém fator
restante:
Note que
, então o primeiro termo é
. Os termos da soma têm fatores
com
, ou seja, cada um desses termos é proporcional a
.
Passo 6
Passe ao limite
. Como
para todos os índices na soma, temos
quando
. Os coeficientes
são números finitos (polinômios em
), então cada termo da soma tende a zero. Logo a soma inteira tende a
. Assim
Isto vale para todo
. (Verificação rápida para
: dá
, condiz com
.)
Passo 7
Resumo final dos dois casos (para garantir que cobrimos
e
):
- Se
, o limite é . - Se
, o limite é .
Resposta
Se
:
Se :
Se