Calcule os seguintes limites, caso existam.
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}, onde f(x)=\sqrt[3]{x+1};

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},
onde f(x)=\sqrt[3]{x+1}. Informações dadas e o que precisamos observar:
  • A função é f(x)=\sqrt[3]{x+1}=(x+1)^{1/3}.
  • A expressão é a diferença quociente que define a derivada de f no ponto x; portanto o resultado pode depender do valor de x.
  • Devemos calcular o limite em termos de x, e verificar se há pontos em que o limite não existe (ou é infinito).

Passo 2

Vamos escrever a diferença entre raízes cúbicas de forma algébrica útil. Defina
a=\sqrt[3]{x+h+1}\quad\text{e}\quad b=\sqrt[3]{x+1}.
Então a^3=x+h+1 e b^3=x+1. Note que
a^3-b^3=(x+h+1)-(x+1)=h.
Aqui explico uma identidade que vamos usar: para quaisquer números a e b vale
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2).
Essa identidade é útil para “racionalizar” diferenças envolvendo raízes cúbicas — ela é análoga à fatoração da diferença de quadrados.

Passo 3

Usando a identidade, temos
h=a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2).
Isolando a-b (que é exatamente f(x+h)-f(x)) obtemos
a-b=\frac{h}{a^2+ab+b^2}.
Dividindo ambos os lados por h (assumindo h\neq0) dá a diferença quociente:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{a-b}{h}=\frac{1}{a^2+ab+b^2}.
Portanto a expressão do limite fica
\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{1}{a^2+ab+b^2}.

Passo 4

Agora vamos estudar o comportamento do denominador quando h\to0. Lembre que a=\sqrt[3]{x+h+1} e b=\sqrt[3]{x+1}. Como a função raiz cúbica é contínua, quando h\to0 temos a\to b. Logo o denominador tende a
a^2+ab+b^2\\ \longrightarrow\\ b^2+ b\cdot b + b^2 = 3b^2.
Assim, se b\neq0 (isto é, se \sqrt[3]{x+1}\neq0, equivalente a x\neq -1), podemos passar o limite para dentro e obter
\lim_{h\to 0}\frac{1}{a^2+ab+b^2}=\frac{1}{3b^2}.

Passo 5

Substituindo b=\sqrt[3]{x+1}=(x+1)^{1/3} na expressão anterior, obtemos para x\neq -1:
\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{1}{3\bigl((x+1)^{1/3}\bigr)^2}=\frac{1}{3(x+1)^{2/3}}.
Aqui explico: \bigl((x+1)^{1/3}\bigr)^2=(x+1)^{2/3}. Essa é a forma final do limite quando o denominador não anula.

Passo 6

Falta analisar o caso x=-1. Se x=-1 então b=\sqrt[3]{0}=0. Voltemos à expressão original do quociente:
\frac{f(-1+h)-f(-1)}{h}=\frac{\sqrt[3]{h}-0}{h}=\frac{\sqrt[3]{h}}{h}.
Escrevendo \sqrt[3]{h}=h^{1/3} obtemos
\frac{h^{1/3}}{h}=h^{-2/3}.
Agora avalie o limite quando h\to0. Para h positivo pequeno, h^{-2/3}\to +\infty. Para h negativo pequeno, como h^{1/3} é negativo e h também é negativo, a razão é positiva e novamente h^{-2/3}\to +\infty. Portanto
\lim_{h\to0}\frac{\sqrt[3]{h}}{h}=+\infty,
ou seja, o limite não existe como número finito (há uma tendência para +\infty).

Passo 7

Resumo e interpretação final: para x\neq -1 o limite existe e é igual a \dfrac{1}{3(x+1)^{2/3}}. Para x=-1 o limite diverge para +\infty, então não existe como valor finito — geometricamente isso corresponde a uma tangente vertical no ponto x=-1.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3(x+1)^{2/3}} para x\neq -1.
+\infty (diverge) para x=-1.

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