Calcule os seguintes limites, caso existam.
, onde
;
Passo 1
O enunciado pede o limite
onde
. Informações dadas e o que precisamos observar:
- A função é
. - A expressão é a diferença quociente que define a derivada de
no ponto ; portanto o resultado pode depender do valor de . - Devemos calcular o limite em termos de
, e verificar se há pontos em que o limite não existe (ou é infinito).
Passo 2
Vamos escrever a diferença entre raízes cúbicas de forma algébrica útil. Defina
Então
e
. Note que
Aqui explico uma identidade que vamos usar: para quaisquer números
e
vale
Essa identidade é útil para “racionalizar” diferenças envolvendo raízes cúbicas — ela é análoga à fatoração da diferença de quadrados.
Passo 3
Usando a identidade, temos
Isolando
(que é exatamente
) obtemos
Dividindo ambos os lados por
(assumindo
) dá a diferença quociente:
Portanto a expressão do limite fica
Passo 4
Agora vamos estudar o comportamento do denominador quando
. Lembre que
e
. Como a função raiz cúbica é contínua, quando
temos
. Logo o denominador tende a
Assim, se
(isto é, se
, equivalente a
), podemos passar o limite para dentro e obter
Passo 5
Substituindo
na expressão anterior, obtemos para
:
Aqui explico:
. Essa é a forma final do limite quando o denominador não anula.
Passo 6
Falta analisar o caso
. Se
então
. Voltemos à expressão original do quociente:
Escrevendo
obtemos
Agora avalie o limite quando
. Para
positivo pequeno,
. Para
negativo pequeno, como
é negativo e
também é negativo, a razão é positiva e novamente
. Portanto
ou seja, o limite não existe como número finito (há uma tendência para
).
Passo 7
Resumo e interpretação final: para
o limite existe e é igual a
. Para
o limite diverge para
, então não existe como valor finito — geometricamente isso corresponde a uma tangente vertical no ponto
.