Calcule os seguintes limites, caso existam:
lim x 0(1+x)^2 / x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limxto0(1+x)^2/x
O conteúdo aqui é o estudo de limites que envolvem formas indeterminadas do tipo 1^infty. Vamos usar a definição do número e
e = limtto0(1+t)^1/t
e a técnica de passar ao logaritmo para simplificar a expressão.

Passo 2

Para lidar com a forma indeterminada, aplicamos o logaritmo natural e depois voltamos pela exponencial. Se definirmos
L = limxto0(1+x)^2/x,
então, supondo que o limite exista e seja positivo, podemos escrever
ln L = limxto0lnl((1+x)^2/xr)

Passo 3

Usando a propriedade do logaritmo de potência, temos
lnl((1+x)^2/xr) = 2x,ln(1+x)
Logo
ln L = limxto02x,ln(1+x)

Passo 4

Sabemos que
limxto0ln(1+x)x = 1
pela expansão em série ou pela definição do logaritmo. Então
ln L = 2 cdot limxto0ln(1+x)x = 2cdot1 = 2

Passo 5

Voltando ao valor de L pela exponencial, obtemos
L = e^ln L = e^2

Resposta

limxto0(1+x)^2/x = e^2

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