Calcule os seguintes limites, caso existam:
lim x 1 e^x-1-1x-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limxto1e^x-1-1x-1
Esse é um caso típico de limite do tipo tfrac00 envolvendo a função exponencial. Vamos usar a regra de L’Hôpital, que diz que, sendo uma indeterminação tfrac00 e as funções diferenciáveis, podemos derivar numerador e denominador.

Passo 2

Verificamos a forma da indeterminação em x=1. Avaliando numerador e denominador isoladamente:
e^1-1-1 = e^0 - 1 = 1 - 1 = 0,
1 - 1 = 0
Portanto temos tfrac00, e a hipótese para usar L’Hôpital está satisfeita.

Passo 3

Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos numerador e denominador em relação a x. A derivada de e^x-1-1 é e^x-1 e a derivada de x-1 é 1. Logo,
limxto1e^x-1-1x-1 = limxto1ddxl(e^x-1-1r)ddx(x-1) = limxto1e^x-11

Passo 4

Agora basta avaliar o novo limite em x=1:
limxto1e^x-1 = e^1-1 = e^0 = 1

Resposta

O limite existe e vale 1.

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