Determine as derivadas parciais de:
w=4 x^3 z-3 x^2 y z^2-4 x y^2 z^3-6 y^3 z^4-y+6

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de w(x,y,z)=4x^3z-3x^2yz^2-4xy^2z^3-6y^3z^4-y+6. Vamos usar a definição de derivada parcial, tratando as outras variáveis como constantes e aplicando a regra do poder e a linearidade.

Passo 2

Calculando partial wpartial x: derivamos termo a termo em relação a x, mantendo y e z constantes.
partial wpartial x = partialpartial xl(4x^3zr) - partialpartial xl(3x^2yz^2r) - partialpartial xl(4xy^2z^3r) - partialpartial xl(6y^3z^4r) - partialpartial x(y) + partialpartial x(6)
Usando a regra do poder e colhendo constantes:
partial wpartial x = 12x^2z -6x,y,z^2 -4y^2z^3 -0 -0 +0 =12x^2z-6xy z^2-4y^2z^3

Passo 3

Calculando partial wpartial y: derivamos termo a termo em relação a y, mantendo x e z constantes.
partial wpartial y = 0 - partialpartial yl(3x^2yz^2r) - partialpartial yl(4xy^2z^3r) - partialpartial yl(6y^3z^4r) - partialpartial y(y) +0
Aplicando a regra do poder:
partial wpartial y = -3x^2z^2 -8x y z^3 -18y^2z^4 -1 = -3x^2z^2-8xy z^3-18y^2z^4-1

Passo 4

Calculando partial wpartial z: derivamos termo a termo em relação a z, mantendo x e y constantes.
partial wpartial z = partialpartial zl(4x^3zr) - partialpartial zl(3x^2yz^2r) - partialpartial zl(4xy^2z^3r) - partialpartial zl(6y^3z^4r) - 0 +0
Usando a regra do poder:
partial wpartial z = 4x^3 -6x^2y,z -12xy^2z^2 -24y^3z^3 =4x^3-6x^2yz-12xy^2z^2-24y^3z^3

Resposta

partial wpartial x=12x^2z-6xy z^2-4y^2z^3,
partial wpartial y=-3x^2z^2-8xy z^3-18y^2z^4-1,
partial wpartial z=4x^3-6x^2yz-12xy^2z^2-24y^3z^3

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