Calcule os seguintes limites, caso existam:
lim x infty(1+3x)^x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limxtoinftyl(1+3xr)^x
Este é um limite clássico do tipo (1+tfracax)^x, que sugere usar logaritmo natural para transformar a potência em produto e depois reconhecer a base do exponencial.

Passo 2

Defina
L = limxtoinftyl(1+3xr)^x
Supondo que L exista e seja positiva, podemos escrever
ln L = limxtoinfty x ,lnl(1+tfrac3xr)
Para calcular este limite, note que ele tem a forma ln(1+3/x)1/x. Aplicando a regra de L’Hôpital:
ln L = limxtoinfty lnl(1+tfrac3xr)1/x = limxtoinfty ddxl[ln(1+3/x)r]ddx[1/x] = limxtoinfty -3/x^21+3/x -1x^2 = limxtoinfty 31+3/x = 3

Passo 3

Como ln L = 3, temos L = e^3. Portanto o limite pedido existe e vale e^3.

Resposta

e^3

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