integral0^pi integral0^pi2 cos x sin y d y d x
4. integral duplaR(2 x-raiz2) d A, onde R é o retângulo definido por
R=(x, y) in R^2 / 1 <= x <= 2 e 0 <= y <= 1

Passo 1

Temos duas integrais duplas para calcular usando o Teorema de Fubini. A primeira é a integral iterada
integral0^piintegral0^pi2cos x,sin y;dy;dx
onde vamos integrar primeiro em y e depois em x. A segunda é
integral duplaR(2x-raiz2);dA,
com R=(x,y)mid 1<= x<=2,;0<= y<=1. Aqui vamos separar a integração em y e em x já que o integrando não depende de y além do elemento de área.

Passo 2

Para a integral
integral0^piintegral0^pi2cos x,sin y;dy;dx
aplicamos Fubini e calculamos primeiro
integral0^pi2sin y;dy =l[-cos yr]0^pi2 =-underbracecosl(tfracpi2r)0+cos(0) =1
Assim a integral vira
integral0^picos xcdot1;dx =integral0^picos x;dx =l[sin xr]0^pi =sin(pi)-sin(0) =0

Passo 3

Para
integral duplaR(2x-raiz2);dA
escrevemos
integralx=1^2integraly=0^1(2x-raiz2);dy;dx
Como 2x-raiz2 não depende de y,
integraly=0^1(2x-raiz2);dy =(2x-raiz2)cdotl[,y,r]0^1 =2x-raiz2
Logo sobra
integral1^2(2x-raiz2);dx =integral1^22x;dx-integral1^2raiz2;dx =l[x^2r]1^2-raiz2,(2-1) =(4-1)-raiz2 =3-raiz2

Resposta

integral0^piintegral0^pi2cos x,sin y;dy;dx=0
integral duplaR(2x-raiz2);dA=3-raiz2

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