integral0^1 integral0^1(x sin (y)+y cos (x)) d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral0^1integral0^1l(xsin y + ycos xr),dx,dy
O conteúdo aqui é integral dupla em um retângulo, então vamos usar o Teorema de Fubini (podemos trocar a ordem ou simplesmente integrar em x primeiro) e a linearidade das integrais.

Passo 2

Integramos primeiro em x:
integral0^1l(xsin y + ycos xr),dx =sin yintegral0^1x,dx ;+; yintegral0^1cos x,dx
Como
integral0^1x,dx = tfrac12
e
integral0^1cos x,dx = sin 1,
ficamos com
integral0^1(xsin y + ycos x),dx =sin y2 ;+; y,sin 1

Passo 3

Agora integramos em y:
integral0^1l(sin y2 + y,sin 1r),dy =12integral0^1sin y,dy ;+;sin 1integral0^1y,dy
Calculamos
integral0^1sin y,dy = 1-cos 1
e
integral0^1y,dy = tfrac12,
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12(1-cos 1) + sin 1cdot12 =1-cos 1 + sin 12

Resposta

boxed1-cos 1 + sin 12

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