Calcule os seguintes limites, caso existam: lim x 0 raiz[5]x^4+1-1x^4

Passo 1

O problema pede o cálculo de limxto0dfracraiz[5]x^4+1-1x^4. Estamos tratando de limites envolvendo formas indeterminadas do tipo 0/0 e vamos usar desenvolvimento em série de Taylor (ou binomial) para funções do tipo (1+u)^α.

Passo 2

Primeiro, observe que quando xto0 temos x^4+1to1, logo o numerador raiz[5]x^4+1-1to0 e o denominador x^4to0. Isso confirma a forma indeterminada 0/0, então podemos usar a expansão binomial de primeira ordem. Para |u|ll1 vale
(1+u)^α = 1 + α,u + O(u^2)

Passo 3

No nosso caso, tome u=x^4 e α=1/5. Então
raiz[5]x^4+1-1 = (1+u)^1/5-1 = 15u + O(u^2) = 15x^4 + O(x^8)

Passo 4

Dividindo pelo x^4 e tomando o limite,
raiz[5]x^4+1-1x^4 = 15x^4 + O(x^8)x^4 = 15 + O(x^4),

Passo 5

e assim, quando xto0, o termo de ordem superior O(x^4) desaparece, ficando apenas 1/5.

Resposta

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