1 - (2,0 pontos) Aplicação em Engenharia (Otimização) - Considere a função
Encontre os pontos críticos
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar os pontos críticos da função $ f(x, y) = x^{3} + y^{3} - 6xy $. Isso faz parte da matéria de Otimização em Engenharia. Para resolver isso, vamos precisar usar o cálculo de derivadas parciais e entender o que são pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são pontos críticos. Eles são pontos onde as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero. Esses pontos podem indicar máximos, mínimos ou pontos de sela da função.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de $ f(x, y) $ em relação a $ x $ e $ y $.
A derivada parcial em relação a $ x $ é:
E a derivada parcial em relação a $ y $ é:
Passo 4
Agora, vamos igualar essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos.
Passo 5
Vamos simplificar as equações dividindo ambas por 3:
Passo 6
Agora, podemos expressar $ y $ em termos de $ x $ a partir da equação (1):
Passo 7
Substituímos essa expressão de $ y $ na equação (2):
Passo 8
Multiplicamos todos os termos por 4 para eliminar a fração:
Passo 9
Fatoramos a equação:
Então, temos duas soluções:
- $ x = 0 $
- $ x^{3} - 8 = 0 $ $ \Rightarrow $ $ x = 2 $
Passo 10
Agora, encontramos os valores de $ y $ correspondentes.
- Para $ x = 0 $:
Então, um ponto crítico é $ (0, 0) $.
- Para $ x = 2 $:
Então, outro ponto crítico é $ (2, 2) $.
Resposta
Os pontos críticos da função $ f(x, y) = x^{3} + y^{3} - 6xy $ são $ (0, 0) $ e $ (2, 2) $.