1 - (2,0 pontos) Aplicação em Engenharia (Otimização) - Considere a função
f(x, y)=x^3+y^3-6 x y
Encontre os pontos críticos

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar os pontos críticos da função $ f(x, y) = x^{3} + y^{3} - 6xy $. Isso faz parte da matéria de Otimização em Engenharia. Para resolver isso, vamos precisar usar o cálculo de derivadas parciais e entender o que são pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são pontos críticos. Eles são pontos onde as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero. Esses pontos podem indicar máximos, mínimos ou pontos de sela da função.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de $ f(x, y) $ em relação a $ x $ e $ y $.
A derivada parcial em relação a $ x $ é:
f(x, y)
E a derivada parcial em relação a $ y $ é:
x

Passo 4

Agora, vamos igualar essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos.
3x^2 - 6y = 0 (1)
3y^2 - 6x = 0 (2)

Passo 5

Vamos simplificar as equações dividindo ambas por 3:
x^2 - 2y = 0 (1)
y^2 - 2x = 0 (2)

Passo 6

Agora, podemos expressar $ y $ em termos de $ x $ a partir da equação (1):
y

Passo 7

Substituímos essa expressão de $ y $ na equação (2):
y
( x^22 )^2 - 2x = 0

Passo 8

Multiplicamos todos os termos por 4 para eliminar a fração:
x^4 - 8x = 0

Passo 9

Fatoramos a equação:
x(x^3 - 8) = 0
Então, temos duas soluções:
  1. $ x = 0 $
  2. $ x^{3} - 8 = 0 $ $ \Rightarrow $ $ x = 2 $

Passo 10

Agora, encontramos os valores de $ y $ correspondentes.
  • Para $ x = 0 $:
y
Então, um ponto crítico é $ (0, 0) $.
  • Para $ x = 2 $:
x = 0
Então, outro ponto crítico é $ (2, 2) $.

Resposta

Os pontos críticos da função $ f(x, y) = x^{3} + y^{3} - 6xy $ são $ (0, 0) $ e $ (2, 2) $.

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