Calcule os seguintes limites, caso existam:
5) lim x 0 raiz[5]x^4+1-1x^4

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto 0 raiz[5]x^4+1-1x^4. O conteúdo envolvido é limites de funções e a técnica que vamos usar é a expansão pelo binômio de Newton generalizado (ou expansão de Taylor em ordem baixa) para (1+u)^alpha.

Passo 2

A fórmula do binômio generalizado nos diz que, para |u|<1 e qualquer expoente alpha, temos a aproximação de primeira ordem:
(1+u)^alpha approx 1 + alpha,u quando uto 0
Aqui vamos usar essa expansão com u = x^4 e alpha = tfrac15.

Passo 3

Substituindo u = x^4 e alpha = tfrac15 na expansão, obtemos:
raiz[5]x^4+1 = (1+ x^4)^1/5 approx 1 + 15x^4
Logo o numerador da nossa função fica
raiz[5]x^4+1 - 1 approx 15x^4

Passo 4

Agora dividimos pelo x^4 e tomamos o limite:
raiz[5]x^4+1 - 1x^4 approx tfrac15x^4x^4 = 15
Assim, ao fazer xto 0, esse quociente tende a tfrac15.

Resposta

tfrac15

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