Mostre que o conjunto
dos números inteiros positivos não tem cota superior.
Passo 1
Estamos pedindo para provar que o conjunto
, que representa os números inteiros positivos, não possui cota superior. Isso envolve conceitos de limites e supremum na matemática. Para resolver esse problema, vamos precisar entender o que significa uma cota superior e como demonstrar a inexistência dessa cota para o conjunto dos inteiros positivos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma cota superior. Uma cota superior para um conjunto
é um número real
tal que todo elemento
de
satisfaz
. Em outras palavras,
é um limite que está acima de todos os elementos do conjunto.
Passo 3
Vamos supor, para fins de contradição, que existe uma cota superior
para o conjunto
. Isso significa que para todo número natural
, temos
.
Passo 4
Agora, consideremos o número
. Esse número é também um número natural (se
for natural) ou pode ser considerado como aproximado próximo se
for real. De qualquer forma, temos que
.
Passo 5
Segundo nossa suposição inicial, todo número natural deve ser menor ou igual a
. No entanto, acabamos de encontrar um número (
) que é maior que
, o que gera uma contradição. Isso significa que nossa suposição de que existe uma cota superior
está errada.
Passo 6
Como a suposição de que existe uma cota superior leva a uma contradição, concluímos que não existe uma cota superior para o conjunto
dos números inteiros positivos.
Resposta
O conjunto
dos números inteiros positivos não possui cota superior.