Mostre que o conjunto N dos números inteiros positivos não tem cota superior.

Passo 1

Estamos pedindo para provar que o conjunto N, que representa os números inteiros positivos, não possui cota superior. Isso envolve conceitos de limites e supremum na matemática. Para resolver esse problema, vamos precisar entender o que significa uma cota superior e como demonstrar a inexistência dessa cota para o conjunto dos inteiros positivos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma cota superior. Uma cota superior para um conjunto S é um número real M tal que todo elemento x de S satisfaz x <= M. Em outras palavras, M é um limite que está acima de todos os elementos do conjunto.

Passo 3

Vamos supor, para fins de contradição, que existe uma cota superior M para o conjunto N. Isso significa que para todo número natural n, temos n <= M.

Passo 4

Agora, consideremos o número M + 1. Esse número é também um número natural (se M for natural) ou pode ser considerado como aproximado próximo se M for real. De qualquer forma, temos que M + 1 > M.

Passo 5

Segundo nossa suposição inicial, todo número natural deve ser menor ou igual a M. No entanto, acabamos de encontrar um número ( M + 1) que é maior que M, o que gera uma contradição. Isso significa que nossa suposição de que existe uma cota superior M está errada.

Passo 6

Como a suposição de que existe uma cota superior leva a uma contradição, concluímos que não existe uma cota superior para o conjunto N dos números inteiros positivos.

Resposta

O conjunto N dos números inteiros positivos não possui cota superior.

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