Ilustre a integral de inversão de Mellin aplicando-a aos seguintes problemas de inversão:
L^-1cosh (raizs(x / a))s(raizs / a) senh(raizs L / a),
Especifique o contorno em cada caso e produza os detalhes matemáticos necessários para desenvolver os resultados.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada inversa de Laplace (usando a integral de inversão–Bromwich, que é análoga à inversão de Mellin) de
F(s)=coshl(raizs(x/a)r)s,(raizs/a)sinhl(raizsL/ar)
Precisamos escrever o contorno de integração, identificar os polos de F(s) e calcular as contribuições de cada polo via resíduo para montar f(x,t)= L^-1F(s).

Passo 2

Começamos pela fórmula de inversão de Laplace (Bromwich):
f(x,t)=12pi iintegralgamma - iinfty^gamma + iinftye^stF(s),ds
Aqui gamma é tomado à direita de todos os polos de F(s). O contorno é a reta vertical s=gamma+ iomega, omegain R.

Passo 3

Identificamos os polos de F(s):
  • s=0 é polo de ordem 2, pois ao expandir F(s) em torno de s=0 encontramos comportamento sim a^2/(L s^2).
  • sn=-(npi a/L)^2, n=1,2,3,dots, são polos simples vindos de sinh(raizsL/a)=0 (zeros em raizsL/a=npi i).

Passo 4

Para o polo duplo s=0 calculamos o resíduo de G(s)=e^stF(s). Expandindo:
s^2F(s)=a^2L,s+D+E,s+cdots
com
D=x^2-tfracL^232L, E=5x^4-10x^2L^2+L^4120,a^2,L
Multiplicando por e^st=1+st+tfracs^2t^22+cdots e extraindo o coeficiente de 1/s obtém-se
o termo polinomial
f0(x,t)=a^22L,t^2+x^2-tfracL^232L,t+5x^4-10x^2L^2+L^4120,a^2,L

Passo 5

Para cada polo simples sn=-(npi a/L)^2, o resíduo de e^stF(s) é
Ress=sn=e^-n^2pi^2a^2t/L^2;cosh(npi i,x/L)sn,ltfracddsl[(raizs/a)sinh(raizsL/a)r]r|sn
Reconhecendo cosh(npi i x/L)=cos(npi x/L) e avaliando a derivada, chegamos a
fserie(x,t)=sumn=1^inftyl[-2L(-1)^nn^2pi^2cosnpi xLr];e^-n^2pi^2a^2t/L^2

Passo 6

Somando todas as contribuições (polo duplo em 0 + polos simples sn), obtemos a expressão final de
f(x,t)=f0(x,t)+fserie(x,t)

Passo 7

Isso conclui a inversão usando o contorno de Bromwich (reta vertical à direita de todos os polos), fechando à esquerda e somando resíduos em s=0 e sn.

Resposta

f(x,t)=a^22L,t^2+x^2-tfracL^232L,t+5x^4-10x^2L^2+L^4120,a^2,L;+ sumn=1^inftyl[-2L(-1)^nn^2pi^2cosnpi xLr]e^-n^2pi^2a^2t/L^2

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