Ilustre a integral de inversão de Mellin aplicando-a aos seguintes problemas de inversão: ,
Especifique o contorno em cada caso e produza os detalhes matemáticos necessários para desenvolver os resultados.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada inversa de Laplace (usando a integral de inversão–Bromwich, que é análoga à inversão de Mellin) de
Precisamos escrever o contorno de integração, identificar os polos de F(s) e calcular as contribuições de cada polo via resíduo para montar f(x,t)=.
Passo 2
Começamos pela fórmula de inversão de Laplace (Bromwich):
Aqui é tomado à direita de todos os polos de . O contorno é a reta vertical , .
Passo 3
Identificamos os polos de :
é polo de ordem 2, pois ao expandir em torno de encontramos comportamento .
, , são polos simples vindos de (zeros em ).
Passo 4
Para o polo duplo calculamos o resíduo de . Expandindo:
com
Multiplicando por e extraindo o coeficiente de obtém-se
o termo polinomial
Passo 5
Para cada polo simples , o resíduo de é
Reconhecendo cosh(npi i x/L)=cos(npi x/L) e avaliando a derivada, chegamos a