Sejam X subset R não vazio, limitado superiormente, e c um número real. Tem-se c <= sup X se, e somente se, para cada epsilon>0 real dado pode-se achar x in X tal que c-epsilon. Enuncie e demonstre um resulatado análogo com inf em vez de sup.

Passo 1

O exercício trata do conceito de ínfimo em $\mathbb{R}$ e pede para enunciar e demonstrar o análogo da seguinte propriedade do supremo: dado R não vazio e limitado superiormente e \(
c\in
\mathbb{R}\, temos
c\le\sup X\iff\forall\varepsilon>0\exists x\in X:\ c-\varepsilon<x.

Precisaremos usar a definição de ínfimo (greatest lower bound) e a propriedade de completude de $\mathbb{R}$.

Passo 2

Vamos enunciar o resultado análogo para o ínfimo:
Seja $X\subset\mathbb{R}$ não vazio e limitado inferiormente, e seja XsubsetR. Então
$ c>=inf Xse, e somente se,forallvarepsilon>0exists xin X: x

Passo 3

Antes de provar, recordamos que é o maior dos limites inferiores de . Ou seja, (i) é um minorante de , isto é, para todo , e (ii) se é qualquer outro minorante, então .

Passo 4

Prova da implicação $(\Rightarrow)$:
Suponha $c\ge\inf X$. Tome um (Rightarrow). Então c>=inf X. Como x é o maior minorante, qualquer número maior que não pode ficar abaixo de todos os elementos de . Logo existe tal que
$

Passo 5

Prova da implicação $(\Leftarrow)$:
Suponha que para todo (Leftarrow) exista com . Queremos mostrar .
Fazendo contrapositivo, suponha que . Defina . Então , e como é um minorante de , todos satisfazem . Isso contradiz a hipótese de que existe com . Portanto não podemos ter , isto é, .

Resposta

Seja X \subset\mathbb{R} não vazio e limitado inferiormente e c\in\mathbb{R}. Então:
c\ge\inf X\quad\text{se, e somente se,}\quad\forall\varepsilon>0\exists x\in X:\ x<c+\varepsilon.

Exercícios relacionados