Sejam
não vazio, limitado superiormente, e
um número real. Tem-se
se, e somente se, para cada
real dado pode-se achar
tal que
. Enuncie e demonstre um resulatado análogo com inf em vez de sup.
Passo 1
O exercício trata do conceito de ínfimo em $\mathbb{R}$ e pede para enunciar e demonstrar o análogo da seguinte propriedade do supremo: dado
não vazio e limitado superiormente e \(
c\in
\mathbb{R}\, temos
c\le\sup X\iff\forall\varepsilon>0\exists x\in X:\ c-\varepsilon<x.
Precisaremos usar a definição de ínfimo (greatest lower bound) e a propriedade de completude de $\mathbb{R}$.
c\in
\mathbb{R}\, temos
c\le\sup X\iff\forall\varepsilon>0\exists x\in X:\ c-\varepsilon<x.
Precisaremos usar a definição de ínfimo (greatest lower bound) e a propriedade de completude de $\mathbb{R}$.
Passo 2
Vamos enunciar o resultado análogo para o ínfimo:
Seja $X\subset\mathbb{R}$ não vazio e limitado inferiormente, e seja
. Então
$
Passo 3
Antes de provar, recordamos que
é o maior dos limites inferiores de
. Ou seja, (i)
é um minorante de
, isto é,
para todo
, e (ii) se
é qualquer outro minorante, então
.
Passo 4
Prova da implicação $(\Rightarrow)$:
Suponha $c\ge\inf X$. Tome um . Então
. Como
é o maior minorante, qualquer número maior que
não pode ficar abaixo de todos os elementos de
. Logo existe
tal que
Suponha $c\ge\inf X$. Tome um
$
Passo 5
Prova da implicação $(\Leftarrow)$:
Suponha que para todo exista
com
. Queremos mostrar
.
Fazendo contrapositivo, suponha que . Defina
. Então
, e como
é um minorante de
, todos
satisfazem
. Isso contradiz a hipótese de que existe
com
. Portanto não podemos ter
, isto é,
.
Suponha que para todo
Fazendo contrapositivo, suponha que
Resposta
Seja X \subset\mathbb{R} não vazio e limitado inferiormente e c\in\mathbb{R}. Então:
c\ge\inf X\quad\text{se, e somente se,}\quad\forall\varepsilon>0\exists x\in X:\ x<c+\varepsilon.