Calcule os seguintes limites, caso existam.
;
Passo 1
O enunciado pede o limite lateral pela direita
Informações dadas e observações iniciais extraídas do enunciado:
- A expressão é
. - Estamos calculando o limite quando
se aproxima de pela direita (ou seja, e ). - Avaliando numerador e denominador em
: portanto a forma é quando — é uma indeterminação que exige manipulação algébrica para analisar o limite.
Passo 2
Explicação da técnica que vamos usar (fatoração e/ou mudança de variável).
- Quando aparece uma indeterminação
, uma abordagem comum e simples é fatorar numerador e denominador para cancelar fatores comuns. Uma identidade útil é a fatoração da diferença de cubos: onde e são quaisquer números reais. Aqui podemos aplicar com e . - Outra técnica alternativa é fazer a mudança de variável
com ; isso é útil para ver o comportamento do quociente em termos de pequeno e positivo.
Passo 3
Aplicar a fatoração ao numerador e fatorar o denominador também.
- Usando a identidade com
e : - O denominador é um quadrado perfeito:
- Assim a expressão original, para
, pode ser reescrita como
Passo 4
Analisar o limite da expressão simplificada. Primeiro argumento por sinal e aproximação:
- Para
próximo de e maior que (ou seja, ), o numerador tende a que é positivo. - O denominador
para é positivo e tende a quando . - Um número que tende a
dividido por um número que tende a diverge para . Assim a simplificação sugere que o quociente cresce sem limite positivo conforme .
Passo 5
Mostração alternativa e mais direta com mudança de variável (para ver claramente a ordem de divergência).
- Faça
com . Então e - Logo, para
, - Quando
, , e os termos permanecem finitos; portanto a soma tende a . Isso confirma rigorosamente que a expressão diverge para quando .