Calcule os seguintes limites, caso existam.
\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{x^{3}-1}{x^{2}-2 x+1};

Passo 1

O enunciado pede o limite lateral pela direita
\lim_{x\to 1^{+}} \frac{x^{3}-1}{x^{2}-2x+1}.
Informações dadas e observações iniciais extraídas do enunciado:
  • A expressão é \dfrac{x^{3}-1}{x^{2}-2x+1}.
  • Estamos calculando o limite quando x se aproxima de 1 pela direita (ou seja, x>1 e x\to1).
  • Avaliando numerador e denominador em x=1: 1^{3}-1=0,\qquad 1^{2}-2\cdot1+1=0,portanto a forma é \dfrac{0}{0} quando x=1 — é uma indeterminação que exige manipulação algébrica para analisar o limite.

Passo 2

Explicação da técnica que vamos usar (fatoração e/ou mudança de variável).
  • Quando aparece uma indeterminação \dfrac{0}{0}, uma abordagem comum e simples é fatorar numerador e denominador para cancelar fatores comuns. Uma identidade útil é a fatoração da diferença de cubos: a^{3}-b^{3}=(a-b)\bigl(a^{2}+ab+b^{2}\bigr),onde a e b são quaisquer números reais. Aqui podemos aplicar com a=x e b=1.
  • Outra técnica alternativa é fazer a mudança de variável x=1+h com h\to0^{+}; isso é útil para ver o comportamento do quociente em termos de h pequeno e positivo.

Passo 3

Aplicar a fatoração ao numerador e fatorar o denominador também.
  • Usando a identidade com a=x e b=1: x^{3}-1=(x-1)\bigl(x^{2}+x+1\bigr).
  • O denominador é um quadrado perfeito: x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}.
  • Assim a expressão original, para x\neq1, pode ser reescrita como \frac{x^{3}-1}{x^{2}-2x+1} =\frac{(x-1)\bigl(x^{2}+x+1\bigr)}{(x-1)^{2}} =\frac{x^{2}+x+1}{x-1}.

Passo 4

Analisar o limite da expressão simplificada. Primeiro argumento por sinal e aproximação:
  • Para x próximo de 1 e maior que 1 (ou seja, x\to1^{+}), o numerador x^{2}+x+1 tende a 1^{2}+1+1=3,que é positivo.
  • O denominador x-1 para x>1 é positivo e tende a 0^{+} quando x\to1^{+}.
  • Um número que tende a 3 dividido por um número que tende a 0^{+} diverge para +\infty. Assim a simplificação sugere que o quociente cresce sem limite positivo conforme x\to1^{+}.

Passo 5

Mostração alternativa e mais direta com mudança de variável (para ver claramente a ordem de divergência).
  • Faça x=1+h com h\to0^{+}. Então x^{3}-1=(1+h)^{3}-1=3h+3h^{2}+h^{3},e x^{2}-2x+1=(1+h)^{2}-2(1+h)+1=h^{2}.
  • Logo, para h\neq0, \frac{x^{3}-1}{x^{2}-2x+1}=\frac{3h+3h^{2}+h^{3}}{h^{2}}=\frac{3h}{h^{2}}+\frac{3h^{2}}{h^{2}}+\frac{h^{3}}{h^{2}}=\frac{3}{h}+3+h.
  • Quando h\to0^{+}, \dfrac{3}{h}\to+\infty, e os termos 3+h permanecem finitos; portanto a soma tende a +\infty. Isso confirma rigorosamente que a expressão diverge para +\infty quando x\to1^{+}.

Resposta

+\infty

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