Calcule os seguintes limites, caso existam.
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x} \cdot \cos \left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\sqrt{(x+1)^{2}}-1}\right);

Passo 1

O enunciado pede o valor do seguinte limite quando x tende a +\infty:
\lim_{x\to+\infty} \frac{1}{x}\cdot \cos\!\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\sqrt{(x+1)^{2}}-1}\right).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A variável x tende para +\infty.
  • A expressão contém \sqrt{(x+1)^{2}}, funções trigonométricas e frações.
    A tarefa é determinar se o limite existe e, em caso afirmativo, calcular seu valor.

Passo 2

Vamos usar uma identidade elementar sobre raízes quadradas e valor absoluto. Para qualquer número real t vale
\sqrt{t^{2}} = |t|.
Aplicando com t=x+1 obtemos
\sqrt{(x+1)^{2}} = |x+1|.
Como estamos considerando x\to+\infty, para todos os x suficientemente grandes (por exemplo todos x\ge 0) temos x+1\ge 1>0, então |x+1|=x+1. Portanto, para x grande,
\sqrt{(x+1)^{2}}-1 = (x+1)-1 = x.

Passo 3

Substituindo o resultado do passo anterior na expressão dentro do cosseno, para x suficientemente grande obtemos
\frac{1}{\sqrt{(x+1)^{2}}-1} = \frac{1}{x}.
Logo o argumento do cosseno fica
\frac{1}{x}-\frac{1}{\sqrt{(x+1)^{2}}-1} = \frac{1}{x}-\frac{1}{x}=0.
Portanto, para todo x grande (em particular para todo x>0) a função dada simplifica exatamente para
\frac{1}{x}\cdot \cos(0)=\frac{1}{x}\cdot 1=\frac{1}{x}.

Passo 4

Agora basta calcular o limite da função simplificada. Sabemos que
\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0,
pois o denominador cresce sem limite e o quociente tende a zero. Como a igualdade da etapa anterior vale para todos os x suficientemente grandes, o limite da expressão original coincide com o limite de \dfrac{1}{x}.

Resposta

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