Calcule os seguintes limites, caso existam.
;
Passo 1
O enunciado pede o valor do seguinte limite quando
tende a
:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A variável
tende para . - A expressão contém
, funções trigonométricas e frações.
A tarefa é determinar se o limite existe e, em caso afirmativo, calcular seu valor.
Passo 2
Vamos usar uma identidade elementar sobre raízes quadradas e valor absoluto. Para qualquer número real
vale
Aplicando com
obtemos
Como estamos considerando
, para todos os
suficientemente grandes (por exemplo todos
) temos
, então
. Portanto, para
grande,
Passo 3
Substituindo o resultado do passo anterior na expressão dentro do cosseno, para
suficientemente grande obtemos
Logo o argumento do cosseno fica
Portanto, para todo
grande (em particular para todo
) a função dada simplifica exatamente para
Passo 4
Agora basta calcular o limite da função simplificada. Sabemos que
pois o denominador cresce sem limite e o quociente tende a zero. Como a igualdade da etapa anterior vale para todos os
suficientemente grandes, o limite da expressão original coincide com o limite de
.