Calcule os seguintes limites, caso existam.
.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite quando
tende a
da função
Informações relevantes que temos:
- A variável
vai para (valores grandes e positivos). - A expressão envolve uma raiz quadrada de
no numerador e no denominador.
O que precisamos encontrar é o valor numérico (se existir) de
Passo 2
Vamos simplificar a expressão para ver claramente o comportamento quando
cresce. Uma identidade útil é
Explicando: fatoramos
de dentro da raiz:
. Como
, obtenho a fórmula acima.
Passo 3
Como estamos estudando o limite quando
, para
suficientemente grande temos
. Portanto substituindo na fração,
Outra forma de ver: dividir numerador e denominador por
dá o mesmo resultado. O importante é que agora a expressão está escrita como produto de duas partes:
e
.
Passo 4
Agora analisamos o limite das duas partes separadamente:
- Quando
, temos . Como a função raiz quadrada é contínua, segue que
- Também quando
, temos .
Usando a propriedade de limites para produtos (se
e
então
), obtemos
Passo 5
Para quem prefere uma justificativa por desigualdade (teorema do confronto / squeeze), dá para argumentar assim: para
temos
, então
Multiplicando por
(já que
),
Como
, pelo teorema do confronto segue que
Isso confirma de forma rigorosa o resultado do passo anterior.
Passo 6
Interpretação intuitiva (útil na prova): o numerador cresce como
(ou seja, cresce na ordem de
), enquanto o denominador cresce como
(ordem muito maior). Uma função que cresce como
dividida por uma que cresce como
tende a zero — o denominador “vence” rapidamente.