Calcule os seguintes limites, caso existam.
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite quando x tende a +\infty da função
\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x^{2}}.
Informações relevantes que temos:
  • A variável x vai para +\infty (valores grandes e positivos).
  • A expressão envolve uma raiz quadrada de x^{2}+1 no numerador e x^{2} no denominador.
    O que precisamos encontrar é o valor numérico (se existir) de
\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x^{2}}.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão para ver claramente o comportamento quando x cresce. Uma identidade útil é
\sqrt{x^{2}+1}=\lvert x\rvert\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}.
Explicando: fatoramos x^{2} de dentro da raiz: \sqrt{x^{2}+1}=\sqrt{x^{2}\left(1+\frac{1}{x^{2}}\right)}=\sqrt{x^{2}}\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}. Como \sqrt{x^{2}}=\lvert x\rvert, obtenho a fórmula acima.

Passo 3

Como estamos estudando o limite quando x\to+\infty, para x suficientemente grande temos \lvert x\rvert=x. Portanto substituindo na fração,
\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x^{2}}=\frac{x\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}}{x^{2}}=\frac{\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}}{x}.
Outra forma de ver: dividir numerador e denominador por x^{2} dá o mesmo resultado. O importante é que agora a expressão está escrita como produto de duas partes: \sqrt{1+\tfrac{1}{x^{2}}} e \tfrac{1}{x}.

Passo 4

Agora analisamos o limite das duas partes separadamente:
  • Quando x\to\infty, temos \dfrac{1}{x^{2}}\to 0. Como a função raiz quadrada é contínua, segue que
\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}\to \sqrt{1+0}=1.
  • Também quando x\to\infty, temos \dfrac{1}{x}\to 0.
Usando a propriedade de limites para produtos (se a_n\to A e b_n\to B então a_n b_n\to AB), obtemos
\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}}{x}=1\cdot 0=0.

Passo 5

Para quem prefere uma justificativa por desigualdade (teorema do confronto / squeeze), dá para argumentar assim: para x\ge 1 temos 0\le \dfrac{1}{x^{2}}\le 1, então
1\le 1+\frac{1}{x^{2}}\le 2 \quad\Rightarrow\quad 1\le \sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}\le \sqrt{2}.
Multiplicando por \dfrac{1}{x}\ge 0 (já que x>0),
0\le \frac{\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}}{x}\le \frac{\sqrt{2}}{x}.
Como \lim_{x\to\infty}\dfrac{\sqrt{2}}{x}=0, pelo teorema do confronto segue que
\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}}{x}=0.
Isso confirma de forma rigorosa o resultado do passo anterior.

Passo 6

Interpretação intuitiva (útil na prova): o numerador cresce como \sqrt{x^{2}}\sim x (ou seja, cresce na ordem de x), enquanto o denominador cresce como x^{2} (ordem muito maior). Uma função que cresce como x dividida por uma que cresce como x^{2} tende a zero — o denominador “vence” rapidamente.

Resposta

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