Seja f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-3 x+2}}.
a) Determine o domínio e a imagem de f.
b) É verdade que a função f é injetora? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado nos dá a função f definida por
f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-3x+2}}.
As perguntas são:
  • (a) Determinar o domínio de f e a imagem (conjunto-contradomínio realmente atingido) de f.
  • (b) Verificar se f é injetora e justificar a resposta.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • O denominador é \sqrt{x^{2}-3x+2}, então é preciso exigir que a expressão dentro da raiz seja positiva (não pode ser zero nem negativa), porque a raiz quadrada no denominador exige argumento estritamente positivo.
  • A expressão dentro da raiz é o polinômio quadrático x^{2}-3x+2, que pode ser fatorado para facilitar a análise.

Passo 2

Determinar o domínio: resolver a desigualdade que garante argumento da raiz estritamente positivo.
Primeiro fatoramos o polinômio:
x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2).
Queremos
(x-1)(x-2)>0.
Essa desigualdade é satisfeita quando os dois fatores têm o mesmo sinal, ou seja:
  • ambos positivos: x>2;
  • ambos negativos: x<1.
Portanto o conjunto de x que satisfaz a desigualdade é
(-\infty,1)\cup(2,\infty).
Como nos pontos x=1 e x=2 o denominador seria zero, esses pontos devem ser excluídos. Concluímos que o domínio de f é
\mathrm{Dom}(f)=(-\infty,1)\cup(2,\infty).

Passo 3

Estudar o comportamento (limites e monotonicidade) para obter a imagem.
Começo calculando a derivada para entender monotonicidade. Escrevo f(x)=(x^{2}-3x+2)^{-1/2}. Aplicando a regra da cadeia:
f'(x)=-\tfrac{1}{2}(x^{2}-3x+2)^{-3/2}\cdot(2x-3).
Simplificando:
f'(x)=-\frac{2x-3}{2\bigl(x^{2}-3x+2\bigr)^{3/2}}.
Observações sobre o sinal de f'(x):
  • O denominador 2\bigl(x^{2}-3x+2\bigr)^{3/2} é sempre positivo no domínio (potência ímpar de quantidade positiva).
  • Assim o sinal de f'(x) é o oposto do sinal de 2x-3.
  • Logo f'(x)>0 quando 2x-3<0, isto é, quando x<\tfrac{3}{2}.
  • E f'(x)<0 quando x>\tfrac{3}{2}.
Agora combinamos isso com o domínio em duas componentes:
  • Em (-\infty,1) temos x<1<\tfrac{3}{2}, logo f'(x)>0 nessa componente. Portanto f é estritamente crescente em (-\infty,1).
  • Em (2,\infty) temos x>2>\tfrac{3}{2}, logo f'(x)<0 nessa componente. Portanto f é estritamente decrescente em (2,\infty).

Passo 4

Calcular limites nas extremidades de cada componente para encontrar a imagem em cada componente.
Para (-\infty,1):
  • Quando x\to-\infty temos x^{2}-3x+2\sim x^{2}\to+\infty, logo \sqrt{x^{2}-3x+2}\to+\infty e
f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-3x+2}}\to 0^{+}.
  • Quando x\to1^{-} temos x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2)\to 0^{+} (produto de dois números negativos tende a 0^{+}), então \sqrt{\cdot}\to0^{+} e
f(x)\to +\infty.
Como f é contínua e estritamente crescente em (-\infty,1) e os limites nas extremidades são 0^{+} e +\infty, a imagem de f restrita a (-\infty,1) é
(0,\infty).
Para (2,\infty):
  • Quando x\to2^{+} temos x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2)\to 0^{+} (produto de um positivo pequeno por positivo), então f(x)\to +\infty.
  • Quando x\to+\infty temos f(x)\to 0^{+} pelo mesmo raciocínio de crescimento do quadrado.
    Como f é contínua e estritamente decrescente em (2,\infty) e os limites nas extremidades são +\infty e 0^{+}, a imagem de f restrita a (2,\infty) também é
(0,\infty).
Unindo as duas componentes, a imagem total de f é
\mathrm{Im}(f)=(0,\infty).

Passo 5

Responder sobre injetividade.
Recordando a definição: f é injetora se valores distintos de x no domínio sempre dão valores distintos de f(x); isto é, não existem x_1\neq x_2 com f(x_1)=f(x_2).
Observação geral: cada uma das componentes (-\infty,1) e (2,\infty) é um intervalo onde f é estritamente monotônica (e portanto injetora) quando considerada isoladamente. No entanto, a imagem de cada componente já é todo (0,\infty). Isso sugere que um mesmo valor de y>0 tem pré-imagens em ambas as componentes — portanto provavelmente existem pares x_1\in(-\infty,1) e x_2\in(2,\infty) com f(x_1)=f(x_2).
Para dar um exemplo concreto, resolvemos f(x)=1. Isso é:
\frac{1}{\sqrt{x^{2}-3x+2}}=1 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}-3x+2=1.
Subtraindo 1:
x^{2}-3x+1=0.
As raízes dessa quadrática são
x=\frac{3\pm\sqrt{9-4}}{2}=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}.
Numérico:
x_1=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\approx 0{,}382\in(-\infty,1), \qquad x_2=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\approx 2{,}618\in(2,\infty).
Ambos estão no domínio e ambos satisfazem f(x)=1. Como x_1\neq x_2 e f(x_1)=f(x_2), concluímos que f NÃO é injetora no domínio total.
Observação final útil para prova: embora f não seja injetora no domínio inteiro, ela é injetora quando restringida a cada componente conectada do domínio (isto é, injetora em (-\infty,1) e injetora em (2,\infty)), porque é estritamente monotônica em cada uma delas.

Resposta

a) Domínio: (-\infty,1)\cup(2,\infty). Imagem: (0,\infty).
b) Não; f não é injetora (por exemplo f\bigl(\tfrac{3-\sqrt{5}}{2}\bigr)=f\bigl(\tfrac{3+\sqrt{5}}{2}\bigr)=1).

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