Seja
.
a) Determine o domínio e a imagem de
.
b) É verdade que a função
é injetora? Justifique sua resposta.
a) Determine o domínio e a imagem de
b) É verdade que a função
Passo 1
O enunciado nos dá a função
definida por
As perguntas são:
- (a) Determinar o domínio de
e a imagem (conjunto-contradomínio realmente atingido) de . - (b) Verificar se
é injetora e justificar a resposta.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- O denominador é
, então é preciso exigir que a expressão dentro da raiz seja positiva (não pode ser zero nem negativa), porque a raiz quadrada no denominador exige argumento estritamente positivo. - A expressão dentro da raiz é o polinômio quadrático
, que pode ser fatorado para facilitar a análise.
Passo 2
Determinar o domínio: resolver a desigualdade que garante argumento da raiz estritamente positivo.
Primeiro fatoramos o polinômio:
Queremos
Essa desigualdade é satisfeita quando os dois fatores têm o mesmo sinal, ou seja:
- ambos positivos:
; - ambos negativos:
.
Portanto o conjunto de
que satisfaz a desigualdade é
Como nos pontos
e
o denominador seria zero, esses pontos devem ser excluídos. Concluímos que o domínio de
é
Passo 3
Estudar o comportamento (limites e monotonicidade) para obter a imagem.
Começo calculando a derivada para entender monotonicidade. Escrevo
. Aplicando a regra da cadeia:
Simplificando:
Observações sobre o sinal de
:
- O denominador
é sempre positivo no domínio (potência ímpar de quantidade positiva). - Assim o sinal de
é o oposto do sinal de . - Logo
quando , isto é, quando . - E
quando .
Agora combinamos isso com o domínio em duas componentes:
- Em
temos , logo nessa componente. Portanto é estritamente crescente em . - Em
temos , logo nessa componente. Portanto é estritamente decrescente em .
Passo 4
Calcular limites nas extremidades de cada componente para encontrar a imagem em cada componente.
Para
:
- Quando
temos , logo e
- Quando
temos (produto de dois números negativos tende a ), então e
Como
é contínua e estritamente crescente em
e os limites nas extremidades são
e
, a imagem de
restrita a
é
Para
:
- Quando
temos (produto de um positivo pequeno por positivo), então . - Quando
temos pelo mesmo raciocínio de crescimento do quadrado.
Comoé contínua e estritamente decrescente em e os limites nas extremidades são e , a imagem de restrita a também é
Unindo as duas componentes, a imagem total de
é
Passo 5
Responder sobre injetividade.
Recordando a definição:
é injetora se valores distintos de
no domínio sempre dão valores distintos de
; isto é, não existem
com
.
Observação geral: cada uma das componentes
e
é um intervalo onde
é estritamente monotônica (e portanto injetora) quando considerada isoladamente. No entanto, a imagem de cada componente já é todo
. Isso sugere que um mesmo valor de
tem pré-imagens em ambas as componentes — portanto provavelmente existem pares
e
com
.
Para dar um exemplo concreto, resolvemos
. Isso é:
Subtraindo
:
As raízes dessa quadrática são
Numérico:
Ambos estão no domínio e ambos satisfazem
. Como
e
, concluímos que
NÃO é injetora no domínio total.
Observação final útil para prova: embora
não seja injetora no domínio inteiro, ela é injetora quando restringida a cada componente conectada do domínio (isto é, injetora em
e injetora em
), porque é estritamente monotônica em cada uma delas.
Resposta
a) Domínio:
. Imagem:
.
b) Não; não é injetora (por exemplo
).
b) Não;