Calcule os seguintes limites, caso existam. Se não existirem, explique por quê:
(k) lim (x, y) (0,0) x^3 y+y^4+x^4x^3-x y^3

Passo 1

O enunciado pede o limite
lim(x,y)to(0,0)x^3y + y^4 + x^4x^3 - x y^3
O conteúdo é análise de limite de função de duas variáveis e teste de existência via caminhos de aproximação. Vamos comparar comportamentos em retas e em curvas adequadas.

Passo 2

Considere a reta y=m x, com m fixo. Substituindo:
num = x^3 (m x) + (m x)^4 + x^4 = (m + m^4 + 1)x^4,
den = x^3 - x,(m x)^3 = x^3(1 - m^3 x)
Logo
numden = (m + m^4 + 1)x^4x^3(1 - m^3 x) = m + m^4 + 11 - m^3 x;x ;xrightarrow[xto0];0
Em toda reta y=mx o limite é 0.

Passo 3

Agora use a curva y = k,x^2/3 com kneq1. Então
y^4 = k^4,x^8/3, x^3y = k,x^11/3, x^4 = x^4,
portanto o numerador é assintoticamente
x^3y + y^4 + x^4 sim k^4,x^8/3 (xto0)
O denominador fica
x^3 - x,y^3 = x^3 - x,(k^3 x^2) = x^3(1 - k^3)
Assim
x^3y + y^4 + x^4x^3 - xy^3 sim k^4,x^8/3(1 - k^3),x^3 = k^41 - k^3;x^-1/3,
que diverge para pminfty quando xto0 (já que x^-1/3to+infty).
Como em retas o limite vale 0 e em curvas ele cresce sem limite, o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe.

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