Prove que se lim (x, y) (a, b) f(x, y)=L>0, então existe r>0 tal que |f(x, y)|>0 para todo (x, y) in R^2 com |(x, y)-(a, b)|<r.

Passo 1

O enunciado nos diz que f: R^2to R tem
lim(x,y)to(a,b)f(x,y)=L>0
Queremos mostrar que, em torno do ponto (a,b), a função nunca zera, ou seja, existe r>0 tal que para todo (x,y) com |(x,y)-(a,b)|<r vale l|f(x,y)r|>0. Para isso vamos usar a definição de limite em duas variáveis e uma aplicação simples da desigualdade triangular.

Passo 2

Pela definição de limite, para todo varepsilon>0 existe de<a>0 tal que
|(x,y)-(a,b)|<de<a Longrightarrow l|f(x,y)-Lr|<varepsilon

Passo 3

Escolhemos
varepsilon = L2,
que é positivo pois L>0. Então existe de<a>0 tal que, sempre que |(x,y)-(a,b)|<de<a, temos
l|f(x,y)-Lr|<L2

Passo 4

Agora aplicamos a desigualdade triangular ao número real f(x,y):
l|f(x,y)r| ;>=; l|,L,r|;-;l|f(x,y)-Lr| ;=; L - l|f(x,y)-Lr|
Como l|f(x,y)-Lr|<L/2, segue
l|f(x,y)r| > L - L2 = L2 > 0

Passo 5

Basta então tomar r = de<a. Concluímos que sempre que
|(x,y)-(a,b)|<r
temos l|f(x,y)r|>0, como desejado.

Resposta

Tomando r dado pelo passo acima, garante-se l|f(x,y)r|>0 sempre que |(x,y)-(a,b)|<r.

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