Q 10 Se uma função f(x) satisfaz a equação f(-x)=f(x), forall x in Dom(f), isto é, o gráfico de f(x) é simétrico em relação ao eixo y, então esta função é chamada de função par e, se uma função g(x) satisfaz a equação g(-x)=-g(x), forall x in Dom(g), isto é, o gráfico de g(x) é simétrico em relação à origem, então esta função é chamada de função impar. Por exemplo, as funções f(x)=cos (x) e g(x)=sen(x) são exemplos de função par e ímpar, respectivamente.
(a) Determine:
(a1) integral-pi / 2^0 cos (x) d x;
(a2) integral0^pi / 2 cos (x) d x;
(a3) integral-pi / 2^pi / 2 cos (x) d x;
(a4) integral-pi / 2^0 sen(x) d x;
(a5) integral0^pi / 2 sen(x) d x;
(a6) integral-pi / 2^pi / 2 sen(x) d x.
(b) Compare o resultados obtidos em (a1), (a2) e (a3). Faça o mesmo com (a4), (a5) e (a6);
(c) Verdadeiro ou Falso?
(c1) Se f for par, então integral-a^a f(x) d x=2 cdot integral0^a f(x) d x; (c2) Se f for ímpar, então integral-a^a f(x) d x=0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular integrais definidas de cos(x) e sen(x) em intervalos simétricos em torno de zero, explorar as propriedades de funções pares e ímpares e verificar duas afirmações gerais sobre integrais definidas. Vamos usar antiderivadas e simetrias de funções pares ( cos) e ímpares ( sen).

Passo 2

Para integral-pi/2^0cos(x),dx e integral0^pi/2cos(x),dx usamos a antiderivada
integral cos(x),dx = sin(x)
Então
integral-pi/2^0cos(x),dx = sin(0)-sin(-tfracpi2) = 0-(-1)=1,
integral0^pi/2cos(x),dx = sin(tfracpi2)-sin(0) = 1-0=1

Passo 3

A integral simétrica de cos(x) é a soma dos trechos:
integral-pi/2^pi/2cos(x),dx = 1 + 1 = 2

Passo 4

Para integral-pi/2^0sen(x),dx e integral0^pi/2sen(x),dx usamos a antiderivada
integral sen(x),dx = -cos(x)
Logo
integral-pi/2^0sen(x),dx = l[-cos(x)r]-pi/2^0 = (-cos0)-l(-cos(-tfracpi2)r)=(-1)-(-0)=-1,
integral0^pi/2sen(x),dx = l[-cos(x)r]0^pi/2 = (-costfracpi2)-(-cos0) = (0)-(-1)=1

Passo 5

A integral simétrica de sen(x) é
integral-pi/2^pi/2sen(x),dx = -1 + 1 = 0

Passo 6

Comparando os resultados:
  • Para cos(x): integral-pi/2^0cos(x),dx = integral0^pi/2cos(x),dx = 1 e integral-pi/2^pi/2cos(x),dx = 2.
  • Para sen(x): integral-pi/2^0sen(x),dx = -1, integral0^pi/2sen(x),dx = 1 e integral-pi/2^pi/2sen(x),dx = 0.

Passo 7

As afirmações gerais:
  1. Se f for par então integral-a^af(x),dx = 2integral0^af(x),dx. Isso é verdadeiro.
  2. Se f for ímpar então integral-a^af(x),dx = 0. Isso é verdadeiro.

Resposta

(a1) 1
(a2) 1
(a3) 2
(a4) -1
(a5) 1
(a6) 0
(b) Para cos(x): integral-pi/2^0=integral0^pi/2=1 e integral-pi/2^pi/2=2.
Para sen(x): integral-pi/2^0=-1, integral0^pi/2=1 e integral-pi/2^pi/2=0.
(c1) Verdadeiro
(c2) Verdadeiro

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