Q 10 Se uma função
satisfaz a equação
, isto é, o gráfico de
é simétrico em relação ao eixo
, então esta função é chamada de função par e, se uma função
satisfaz a equação
, isto é, o gráfico de
é simétrico em relação à origem, então esta função é chamada de função impar. Por exemplo, as funções
e
são exemplos de função par e ímpar, respectivamente.
(a) Determine:
(a1)
;
(a2)
;
(a3)
;
(a4)
;
(a5)
;
(a6)
.
(b) Compare o resultados obtidos em (a1), (a2) e (a3). Faça o mesmo com (a4), (a5) e (a6);
(c) Verdadeiro ou Falso?
(c1) Se
for par, então
; (c2) Se
for ímpar, então
.
(a) Determine:
(a1)
(a2)
(a3)
(a4)
(a5)
(a6)
(b) Compare o resultados obtidos em (a1), (a2) e (a3). Faça o mesmo com (a4), (a5) e (a6);
(c) Verdadeiro ou Falso?
(c1) Se
Passo 1
O enunciado pede para calcular integrais definidas de
e
em intervalos simétricos em torno de zero, explorar as propriedades de funções pares e ímpares e verificar duas afirmações gerais sobre integrais definidas. Vamos usar antiderivadas e simetrias de funções pares (
) e ímpares (
).
Passo 2
Para
e
usamos a antiderivada
Então
Passo 3
A integral simétrica de
é a soma dos trechos:
Passo 4
Para
e
usamos a antiderivada
Logo
Passo 5
A integral simétrica de
é
Passo 6
Comparando os resultados:
- Para
: e . - Para
: , e .
Passo 7
As afirmações gerais:
- Se
for par então . Isso é verdadeiro. - Se
for ímpar então . Isso é verdadeiro.
Resposta
(a1)
(a2)
(a3)
(a4)
(a5)
(a6)
(a2)
(a3)
(a4)
(a5)
(a6)
(b) Para
:
e
.
Para :
,
e
.
Para
(c1) Verdadeiro
(c2) Verdadeiro
(c2) Verdadeiro