Calcule os seguintes limites, caso existam. Se não existirem, explique por quê.
lim x 0 x^3 cdot sen(1x)

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente quer calcular
Conteúdo da matéria: limites de funções e Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche).
O que vamos precisar:
  1. Saber que para todo limxto 0 x^3,sen!l(tfrac1xr) .
  2. Entender como usar a desigualdade para “confrontar” a nossa função entre duas mais simples.

Passo 2

Aplicando a ideia de que está sempre entre -,|x^3|;<=;x^3,sen!l(tfrac1xr);<=;|x^3| e , a gente multiplica essa desigualdade por . Como tende a zero e pode ser positivo ou negativo, obtemos:
Aqui usamos:
  • Se , então ao multiplicar por (que é pequeno quando ) a gente “encolhe” essa faixa para algo que envolve .
  • Note que escrevemos para garantir que o limite dos dois lados é o mesmo (zero).

Passo 3

Agora observamos que
limxto0 -,|x^3| ;=; 0 e limxto0 |x^3| ;=; 0
Pelo Teorema do Confronto, se uma função limxto0 f(x) = L fica sempre entre duas que têm o mesmo limite , então
Aqui fica “espremida” entre e , ambas tendendo a 0. Logo o limite de também é 0.

Resposta

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