Calcule os seguintes limites, caso existam. Se não existirem, explique o porquê.
lim (x, y) (0,0) x y sen(3 y)x^2+y^4

Passo 1

O enunciado pede o valor de
lim(x,y)to(0,0) x,y,sin(3y)x^2+y^4
O conteúdo é limite de função de duas variáveis. A ideia é testar trajetórias diferentes para ver se o resultado é único.

Passo 2

Verificando pelos eixos coordenados:
Para x=0, a função fica
f(0,y)=0cdot y,sin(3y)0+y^4=0,
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lim(x,y)to(0,0),,x=0 f(x,y)=0.
Para y=0, a função fica
f(x,0)=xcdot 0,sin(0)x^2+0=0,
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lim(x,y)to(0,0),,y=0 f(x,y)=0.

Passo 3

Agora use o caminho x=y^2. Substituindo:
f(y^2,y) =y^2cdot y,sin(3y)(y^2)^2+y^4 =y^3sin(3y)2y^4 =sin(3y)2y
Como limyto0sin(3y)2y=32, obtemos
lim(x,y)to(0,0),,x=y^2 f(x,y)=tfrac32

Passo 4

Vimos que pelo eixo o limite vale 0, mas pelo caminho x=y^2 vale tfrac32. Como não há um valor único, o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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