Calcule os seguintes limites, caso existam. Se não existirem, explique o porquê.
lim (x, y) (0,0) ln (1+x^4 y^4) sen^2(x)raizsen^4(x)+6 arctg(x-y)^2

Passo 1

O problema pede o valor do limite
lim(x,y)to(0,0) lnl(1+x^4y^4r),sin^2(x) raizsin^4(x)+6,arctg(x-y)^2,
que é um limite de função de duas variáveis. Vamos usar expansões de Taylor e desigualdades para mostrar que a expressão tende a zero.

Passo 2

Para lvert xrvert e lvert yrvert pequenos valem as estimativas
llvert ln(1+x^4y^4)rrvert <= x^4y^4, lvertsin(x)rvert<= lvert xrvert,
e também, para lvert xrvert suficientemente pequeno,
lvertsin(x)rvert>= lvert xrvert2,
pois sin(x)/xto1.

Passo 3

No denominador temos
raizsin^4(x)+6,arctg(x-y)^2 ;>=; raizsin^4(x) ;=; lvertsin^2(x)rvert ;>=; x^24

Passo 4

Agora obtemos um limite superior para o valor absoluto da fração:
gl|ln(1+x^4y^4),sin^2(x) raizsin^4(x)+6,arctg(x-y)^2gr| ;<=; x^4y^4,sin^2(x)x^2/4 ;<=; 4,x^4y^4,x^2x^2 = 4,x^4y^4
Como lvert xrvert<= r e lvert yrvert<= r implica x^4y^4<= r^8, segue
llvert f(x,y)rrvert <= 4,r^8,
e rto0 leva 4r^8to0.

Passo 5

Dessa forma, para qualquer trajetória (x,y)to(0,0) a função fica aprisionada por uma expressão que tende a zero. Logo o limite existe e vale
boxed0

Resposta

0

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