Calcule os seguintes limites, caso existam. Se não existirem, explique o porquê.
Passo 1
O problema pede o valor do limite
que é um limite de função de duas variáveis. Vamos usar expansões de Taylor e desigualdades para mostrar que a expressão tende a zero.
Passo 2
Para
e
pequenos valem as estimativas
e também, para
lvert xrvert suficientemente pequeno,
pois
sin(x)/xto1 .
Passo 3
No denominador temos
Passo 4
Agora obtemos um limite superior para o valor absoluto da fração:
Como
lvert xrvert<= r e
lvert yrvert<= r implica
x^4y^4<= r^8 , segue
e
rto0 leva
4r^8to0 .
Passo 5
Dessa forma, para qualquer trajetória
(x,y)to(0,0) a função fica aprisionada por uma expressão que tende a zero. Logo o limite existe e vale