Sejam os pontos P(3,-4,5) e Q(1,2,3) e W um vetor localizado no ponto P cuja magnitude seja igual à distância entre P e Q . Determine o vetor W apontado para Q :
a) no sistema de coordenadas cartesianas;
a) W=-2 ax+6 ay-2 az,
b) no sistema de coordenadas cilíndricas;
b) Impossível converter W para coordenadas cilíndricas sem mais informações.
c) no sistema de coordenadas esféricas.
c) Impossível converter W para coordenadas esféricas sem mais informações.

Passo 1

O enunciado dá dois pontos em coordenadas cartesianas
P=(3,-4,5), Q=(1,2,3)
e pede um vetor ,W “localizado” em P, apontando para Q, cuja magnitude seja igual à distância PQ.
Conteúdo: vetor diferença em R^3 e conversão para bases cilíndrica e esférica.

Passo 2

Primeiro calculamos o vetor PQ e sua norma:
PQ=Q-P=(1-3,;2-(-4),;3-5)=(-2,,6,,-2)
A distância é
|PQ|=raiz(-2)^2+6^2+(-2)^2=raiz4+36+4=raiz44=2raiz11
Como ,W deve ter a mesma direção e magnitude de PQ, temos
W=PQ=(-2,,6,,-2)
ou seja, em base cartiana
W=-2,ax+6,ay-2,az

Passo 3

Para passar a descrição de W ao sistema cilíndrico, precisamos das coordenadas de P em cilíndricas e dos versores locais.
As coordenadas de P são
r=raiz3^2+(-4)^2=5, theta=arctan!l(tfrac-43r), z=5
No ponto P os versores cilíndricos são
ar=(costheta),ax+(sintheta),ay=35,ax-45,ay,
atheta=-sintheta,ax+costheta,ay=45,ax+35,ay,
az=az
Projetando W nesses versores:
Wr=Wcdot ar=(-2)35+6l(-45r)=-6-245=-6,
Wtheta=Wcdot atheta=(-2)45+635=-8+185=2,
Wz=Wcdot az=-2
Logo em base cilíndrica
W=-6,ar+2,atheta-2,az

Passo 4

No sistema esférico a posição de P é
rho=raiz3^2+(-4)^2+5^2=5raiz2, theta=arctan!l(tfrac-43r), phi=arccos!l(tfraczrhor)=arccos!l(tfrac55raiz2r)=pi4
Os versores esféricos são
arho=sinphi,ar+cosphi,az, aphi=cosphi,ar-sinphi,az, atheta (mesmo de cilíndricas) í
Como sinphi=cosphi=tfracraiz22, calculamos
Wrho=Wcdot arho=Wrsinphi+Wzcosphi =-6raiz22+(-2)raiz22=-4raiz2,
Wphi=Wcdot aphi=Wrcosphi - Wzsinphi =-6raiz22-(-2)raiz22=-2raiz2,
Wtheta=2(o mesmo de cilíndricas) í
Assim em base esférica
W=-4raiz2,arho+2,atheta-2raiz2,aphi

Resposta

a) W=-2,ax+6,ay-2,az.
b) W=-6,ar+2,atheta-2,az.
c) W=-4raiz2,arho+2,atheta-2raiz2,aphi.

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