Calcule os seguintes limites, caso existam. Se não existirem, explique o porquê.
lim (x, y) (0,0) sen(x^2+y^2)x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede o limite
lim(x,y)to(0,0) sinl(x^2+y^2r)x^2+y^2
O conteúdo é cálculo de limite de função de duas variáveis. Para resolver, vamos usar coordenadas polares e o limite clássico
limtto0sin tt=1

Passo 2

Mudamos para coordenadas polares:
x = rcostheta, y = rsintheta,
então
x^2+y^2 = r^2,
e ao aproximar (x,y)to(0,0) temos rto0, independente de theta.

Passo 3

Em função de r, a expressão vira
sinl(x^2+y^2r)x^2+y^2 = sinl(r^2r)r^2
Como sin(r^2)/(r^2) depende só de r, o limite não varia com o ângulo.

Passo 4

Usamos o limite univariado
limuto0sin uu=1
com u=r^2to0. Logo
limrto0sin(r^2)r^2=1

Resposta

1

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