Calcule os seguintes limites, caso existam. Se não existirem, explique o porquê.
lim (x, y) (0,0) x^5+y^5x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede o limite
lim(x,y)to(0,0)x^5+y^5x^2+y^2,
que é um caso de limite de função de duas variáveis. Para resolver, vamos usar coordenadas polares e estimativas de ordem de grandeza.

Passo 2

Em coordenadas polares, definimos
x = rcostheta, y = rsintheta,
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x^2+y^2=r^2,
x^5+y^5=r^5l(cos^5theta+sin^5thetar)
Assim a função vira
x^5+y^5x^2+y^2 =r^5(cos^5theta+sin^5theta)r^2 =r^3l(cos^5theta+sin^5thetar)

Passo 3

Note que
l|cos^5theta + sin^5thetar| <= |cos^5theta| + |sin^5theta| <= 1 + 1 = 2,
então
| x^5 + y^5x^2 + y^2 | <= 2 , r^3
Como r to 0 faz 2 r^3 to 0, conclui-mos que a expressão tende a zero independentemente de theta.

Resposta

O limite existe e vale 0.

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