Calcule os seguintes limites, caso existam. Se não existirem, explique o porquê.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do limite da função de duas variáveis
quando
. O conteúdo envolve limites de funções de várias variáveis e a técnica de coordenadas polares para reduzir ao caso unidimensional.
Passo 2
Observamos que
depende de
e
apenas pela combinação
. Definimos
de modo que
equivale a
. Assim
Passo 3
Examinamos o limite unidimensional
Para simplificar, fazemos a troca de variável
. Então
quando
e
Passo 4
Calculamos
.
É conveniente escrever
que é um caso
. Aplicando a regra de L’Hôpital:
Passo 5
Como o limite em coordenadas polares (ou em
) existe e vale
, concluímos que o limite original também existe e é
.