Calcule os seguintes limites, caso existam. Se não existirem, explique o porquê.
lim (x, y) (0,0)(x^2+y^2) ln (x^2+y^2)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite da função de duas variáveis
f(x,y) = l(x^2+y^2r),lnl(x^2+y^2r)
quando (x,y)to(0,0). O conteúdo envolve limites de funções de várias variáveis e a técnica de coordenadas polares para reduzir ao caso unidimensional.

Passo 2

Observamos que f depende de x e y apenas pela combinação x^2+y^2. Definimos
r = raizx^2+y^2, r>=0,
de modo que (x,y)to(0,0) equivale a rto0^+. Assim
f(x,y) ;=; r^2,lnl(r^2r)

Passo 3

Examinamos o limite unidimensional
limrto0^+ r^2,lnl(r^2r)
Para simplificar, fazemos a troca de variável t=r^2. Então tto0^+ quando rto0^+ e
r^2lnl(r^2r) = tln t

Passo 4

Calculamos limtto0^+tln t. É conveniente escrever
tln t = ln t1/t,
que é um caso -infty+infty. Aplicando a regra de L’Hôpital:
limtto0^+ln t1/t =limtto0^+ddt(ln t)ddt(1/t) =limtto0^+tfrac1t-,tfrac1t^2 =limtto0^+(-,t) =0

Passo 5

Como o limite em coordenadas polares (ou em t) existe e vale 0, concluímos que o limite original também existe e é 0.

Resposta

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