Quatro quadrados iguais de lado são cortados dos cantos de uma folha de papel medindo 20 cm de largura e 40 cm de comprimento. As abas que sobram são dobradas para formar uma caixa sem tampa. a) (2) Determine o volume como uma função de . b) (1) Por meio de derivada, quanto deve ser a medida dos lados dos quadrados retirados para que o volume da caixa seja o maior possível. c) (1) Calcule esse volume, indicando unidades.
Passo 1
Estamos com uma folha de papel de dimensões ,cm por ,cm, da qual cortamos quatro quadradinhos iguais de lado nos v’ertices e dobramos as abas para formar uma caixa sem tampa. A altura da caixa ser’a , o comprimento ser’a e a largura ser’a . Queremos:
a) montar a fun\c{c}~ao volume ,
b) achar o valor de que maximiza usando derivada,
c) calcular esse volume m’aximo.
Passo 2
A função volume é produto das três dimensões:
Esse é o volume em para .
Passo 3
Para otimizar, é mais prático expandir e derivar. Primeiro expandimos:
Então a derivada é
Para achar extremos, resolvemos
Passo 4
As raízes dessa equação quadrática são
Dessas, a que cabe no domínio é
Verificando a segunda derivada, , vemos que em ela é negativa, confirmando máximo.
Passo 5
Para o volume máximo substituímos nessa forma fatorada ou usamos uma simplificação em bloco:
Resposta
a) V(x)=x,(20-2x),(40-2x)
b) x=30-10raiz33approx4,227 cm
c) Vmax=8000raiz39approx1,540 cm^3