1. Quatro quadrados iguais de lado x cm são cortados dos cantos de uma folha de papel medindo 20 cm de largura e 40 cm de comprimento. As abas que sobram são dobradas para formar uma caixa sem tampa. a) (2) Determine o volume como uma função de x. b) (1) Por meio de derivada, quanto deve ser a medida x dos lados dos quadrados retirados para que o volume da caixa seja o maior possível. c) (1) Calcule esse volume, indicando unidades.

Passo 1

Estamos com uma folha de papel de dimensões 20,cm por 40,cm, da qual cortamos quatro quadradinhos iguais de lado x nos v’ertices e dobramos as abas para formar uma caixa sem tampa. A altura da caixa ser’a x, o comprimento ser’a 40-2x e a largura ser’a 20-2x. Queremos:
a) montar a fun\c{c}~ao volume V(x),
b) achar o valor de x que maximiza V(x) usando derivada,
c) calcular esse volume m’aximo.

Passo 2

A função volume é produto das três dimensões:
V(x)=x,(20-2x),(40-2x)
Esse é o volume em cm^3 para 0<x<10.

Passo 3

Para otimizar, é mais prático expandir e derivar. Primeiro expandimos:
V(x)=xl(800-120x+4x^2r)=800x-120x^2+4x^3
Então a derivada é
V'(x)=800-240x+12x^2
Para achar extremos, resolvemos
800-240x+12x^2=0 Long<=ftrightarrow 3x^2-60x+200=0

Passo 4

As raízes dessa equação quadrática são
x=60pmraiz3600-24006 =60pm20raiz36 =30pm10raiz33
Dessas, a que cabe no domínio 0<x<10 é
x=30-10raiz33approx4,227 cm
Verificando a segunda derivada, V''(x)=24x-240, vemos que em xapprox4,227 ela é negativa, confirmando máximo.

Passo 5

Para o volume máximo substituímos nessa forma fatorada ou usamos uma simplificação em bloco:
Vmax =;x,(20-2x),(40-2x)|x=30-10raiz33 =8000raiz39approx1,540 cm^3

Resposta

a) V(x)=x,(20-2x),(40-2x)
b) x=30-10raiz33approx4,227 cm
c) Vmax=8000raiz39approx1,540 cm^3

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