Determine os pontos de máximo absoluto e mínimo absoluto das funções:
, em
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar os extremos globais da função
no disco
.
Como é contínua e
é compacto, os extremos absolut os ocorrem em pontos críticos do interior (onde
) ou em pontos da fronteira (onde
).
Como
Passo 2
No interior, calculamos as derivadas parciais:
Igualando a zero,
implicam
. Avaliando:
Passo 3
Na fronteira
, usamos a parametrização
definindo
Derivando em
:
As soluções de
são os candidatos na fronteira.
Passo 4
Das raízes de
seguem três casos:
1.
2.
3.
. Então
logo
Passo 5
Avaliando
em todos os candidatos:
Passo 6
Comparando os valores, o maior é
em
e o menor é
em
.
Resposta
Ponto de máximo absoluto:
, com
.
Ponto de mínimo absoluto: , com
.
Ponto de mínimo absoluto: