Calcule os seguintes limites. Caso eles não existam, explique a razão.
\lim _{t \rightarrow 0} \frac{1-\cos (2 t)}{\operatorname{sen}(3 t)}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{t \rightarrow 0} \frac{1-\cos(2t)}{\operatorname{sen}(3t)}.
Informações dadas:
  • A variável tende para \,t\to 0.
  • A expressão é a razão entre 1-\cos(2t) e \operatorname{sen}(3t).
O que precisamos entregar: o valor desse limite ou uma explicação de por que ele não existe.

Passo 2

Uma identidade trigonométrica útil e simples que vamos usar é
1-\cos(2t)=2\sin^2(t).
Explicando por que isso vale: a identidade de duplicação para o cosseno é \cos(2t)=1-2\sin^2(t). Rearranjando, obtemos exatamente \;1-\cos(2t)=2\sin^2(t). Essa identidade transforma uma diferença envolvendo cosseno numa expressão em termos de seno ao quadrado, o que costuma facilitar limites quando t\to 0.

Passo 3

Usando a identidade no numerador, reescrevemos o limite:
\frac{1-\cos(2t)}{\operatorname{sen}(3t)}=\frac{2\sin^2(t)}{\operatorname{sen}(3t)}=2\sin(t)\cdot\frac{\sin(t)}{\operatorname{sen}(3t)}.
Agora a expressão está como produto de 2\sin(t) por \dfrac{\sin(t)}{\operatorname{sen}(3t)}. Isso é bom porque conhecemos limites padrão envolvendo \sin quando o argumento tende a zero.

Passo 4

Recordando um limite fundamental (e muito usado em provas):
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.
Uma consequência prática é que, para constantes a e b,
\lim_{t\to 0}\frac{\sin(at)}{\sin(bt)}=\frac{a}{b}.
Prova rápida desta consequência: escreva
\frac{\sin(at)}{\sin(bt)}=\frac{\sin(at)}{at}\cdot\frac{bt}{\sin(bt)}\cdot\frac{a}{b},
cada um dos dois primeiros fatores tende a 1 quando t\to 0 (pela propriedade \sin x/x\to1), logo o quociente tende a a/b.
Aplicando isso com a=1 e b=3 obtemos
\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{\operatorname{sen}(3t)}=\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{\sin(3t)}=\frac{1}{3}.

Passo 5

Voltando ao produto obtido no Passo 3,
\frac{1-\cos(2t)}{\operatorname{sen}(3t)}=2\sin(t)\cdot\frac{\sin(t)}{\operatorname{sen}(3t)}.
Tomando limite em ambos os fatores:
  • \displaystyle\lim_{t\to 0}2\sin(t)=2\cdot 0=0, pois \sin(t)\to 0.
  • \displaystyle\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{\operatorname{sen}(3t)}=\frac{1}{3} (do Passo 4).
Produto dos limites (fator limitado vezes fator limitado) dá
\lim_{t\to 0}\frac{1-\cos(2t)}{\operatorname{sen}(3t)} = 0\cdot\frac{1}{3}=0.

Passo 6

Comentário didático final (para usar na prova): outra via rápida é usar a aproximação de pequena ordem \cos x \approx 1-\dfrac{x^2}{2} e \sin x\approx x quando x é pequeno. Substituindo \cos(2t)\approx 1-\dfrac{(2t)^2}{2}=1-2t^2 e \sin(3t)\approx 3t, obtém-se \dfrac{1-(1-2t^2)}{3t}\approx \dfrac{2t^2}{3t}=\dfrac{2}{3}t\to 0. Isso dá a mesma conclusão e é uma forma prática de pensar no limite rapidamente na hora da prova.

Resposta

0

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