Calcule os seguintes limites. Caso eles não existam, explique a razão.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A variável tende para
. - A expressão é a razão entre
e .
O que precisamos entregar: o valor desse limite ou uma explicação de por que ele não existe.
Passo 2
Uma identidade trigonométrica útil e simples que vamos usar é
Explicando por que isso vale: a identidade de duplicação para o cosseno é
. Rearranjando, obtemos exatamente
. Essa identidade transforma uma diferença envolvendo cosseno numa expressão em termos de seno ao quadrado, o que costuma facilitar limites quando
.
Passo 3
Usando a identidade no numerador, reescrevemos o limite:
Agora a expressão está como produto de
por
. Isso é bom porque conhecemos limites padrão envolvendo
quando o argumento tende a zero.
Passo 4
Recordando um limite fundamental (e muito usado em provas):
Uma consequência prática é que, para constantes
e
,
Prova rápida desta consequência: escreva
cada um dos dois primeiros fatores tende a
quando
(pela propriedade
), logo o quociente tende a
.
Aplicando isso com
e
obtemos
Passo 5
Voltando ao produto obtido no Passo 3,
Tomando limite em ambos os fatores:
-
, pois . -
(do Passo 4).
Produto dos limites (fator limitado vezes fator limitado) dá
Passo 6
Comentário didático final (para usar na prova): outra via rápida é usar a aproximação de pequena ordem
e
quando
é pequeno. Substituindo
e
, obtém-se
. Isso dá a mesma conclusão e é uma forma prática de pensar no limite rapidamente na hora da prova.