Calcule os seguintes limites. Caso eles não existam, explique a razão.
\lim _{u \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}^{5}(u)}{4 u^{5}}\

Passo 1

O enunciado pede para calcular o seguinte limite quando u tende a zero:
\lim_{u \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}^{5}(u)}{4 u^{5}}.
Informações dadas:
  • A função no numerador é \operatorname{sen}^{5}(u), isto é, \big(\operatorname{sen}(u)\big)^{5}.
  • O denominador é 4u^{5}.
  • O ponto de interesse é u\to 0.
    A pergunta é: qual é o valor desse limite? Caso ele não exista, explicar o porquê.

Passo 2

Lembrete fundamental que usaremos: vale o limite clássico
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.
Explicação didática (prova por desigualdades / squeeze): para 0<x<\tfrac{\pi}{2} tem-se geometricamente que
\sin x < x < \tan x.
Dividindo tudo por \sin x (positivo nesse intervalo) obtemos
1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x}.
Invertendo as desigualdades (ou dividindo tudo por x) dá
\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1.
Como \lim_{x\to 0}\cos x = 1, pelo princípio do “squeeze” (teorema do confronto) segue que
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.
Para incluir x negativos, nota-se que \sin x / x é uma função par (porque \sin(-x)=-\sin x e o sinal se cancela), então o limite lateral esquerdo coincide com o direito e o limite existe e vale 1.

Passo 3

Reescrevemos a expressão do limite de forma conveniente:
\frac{\operatorname{sen}^{5}(u)}{4 u^{5}} = \frac{1}{4}\,\frac{\operatorname{sen}^{5}(u)}{u^{5}} = \frac{1}{4}\left(\frac{\operatorname{sen}u}{u}\right)^{5}.
Aqui foi usada apenas álgebra elementar (fatorar 1/4 e agrupar potências).

Passo 4

Agora aplicamos propriedades de limites: se \lim_{u\to 0} f(u)=L existe, então \lim_{u\to 0} (f(u))^{5}=L^{5}. Como já sabemos que
\lim_{u\to 0}\frac{\operatorname{sen}u}{u}=1,
temos
\lim_{u\to 0}\frac{\operatorname{sen}^{5}(u)}{4 u^{5}} = \frac{1}{4}\left(\lim_{u\to 0}\frac{\operatorname{sen}u}{u}\right)^{5} = \frac{1}{4}\cdot 1^{5} = \frac{1}{4}.

Passo 5

Observação extra (método alternativo curto): usando a expansão em série de Taylor (ou o argumento de ordem dominante), \sin u = u - \tfrac{u^{3}}{6} + O(u^{5}). Então \sin^{5}u = u^{5} + O(u^{7}), de modo que \sin^{5}u/(4u^{5}) = 1/4 + O(u^{2}) e novamente o limite é 1/4. Isso confirma a resposta anterior por outro caminho.

Resposta

\dfrac{1}{4}

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