Calcule os seguintes limites. Caso eles não existam, explique a razão.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o seguinte limite quando
tende a zero:
Informações dadas:
- A função no numerador é
, isto é, . - O denominador é
. - O ponto de interesse é
.
A pergunta é: qual é o valor desse limite? Caso ele não exista, explicar o porquê.
Passo 2
Lembrete fundamental que usaremos: vale o limite clássico
Explicação didática (prova por desigualdades / squeeze): para
tem-se geometricamente que
Dividindo tudo por
(positivo nesse intervalo) obtemos
Invertendo as desigualdades (ou dividindo tudo por
) dá
Como
, pelo princípio do “squeeze” (teorema do confronto) segue que
Para incluir
negativos, nota-se que
é uma função par (porque
e o sinal se cancela), então o limite lateral esquerdo coincide com o direito e o limite existe e vale
.
Passo 3
Reescrevemos a expressão do limite de forma conveniente:
Aqui foi usada apenas álgebra elementar (fatorar
e agrupar potências).
Passo 4
Agora aplicamos propriedades de limites: se
existe, então
. Como já sabemos que
temos
Passo 5
Observação extra (método alternativo curto): usando a expansão em série de Taylor (ou o argumento de ordem dominante),
. Então
, de modo que
e novamente o limite é
. Isso confirma a resposta anterior por outro caminho.