Questão 1. Determine a convergência ou a divergência das seguintes sequências:
a) a_{n}=\frac{n^{3}}{n^{3}+1}
Passo 1
O enunciado dá a sequência a_{n}=\dfrac{n^{3}}{n^{3}+1} e pede para determinar se essa sequência converge ou diverge.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
A sequência é definida para n\in\mathbb{N} por a_{n}=\dfrac{n^{3}}{n^{3}+1}.
A pergunta é única: determinar convergência ou divergência (e, se convergir, encontrar o limite).
Passo 2
Observação inicial (intuição): para n grande, os termos n^{3} e n^{3}+1 têm a mesma ordem; portanto espera-se que a razão tenda a um número finito. Vamos transformar a expressão de forma a visualizar o comportamento quando n\to\infty.
Dividindo numerador e denominador por n^{3} obtemos a forma equivalente
Expliquei cada passo: dividiu-se tanto o numerador quanto o denominador por n^{3}, o que é válido para n\neq0; como n vai a infinito, essa forma facilita ver as partes que tendem a 0.
Passo 3
Agora use a ideia básica sobre limites de sequências simples: \dfrac{1}{n^{3}}\to 0 quando n\to\infty. Isso é porque n^{3} cresce sem limite e o inverso tende a 0. Aplicando regras elementares de limites (soma e composição contínua), temos
Aqui usei a propriedade de que se b_{n}\to b e a função x\mapsto 1/(1+x) é contínua no ponto x=b (quando 1+b\neq0), então a composição tende ao valor correspondente.
Passo 4
Vou dar um argumento mais rigoroso em termos de desigualdades, que é útil na prova em prova escrita: calcule a diferença em valor absoluto entre a_{n} e o candidato a limite 1:
Note que \dfrac{1}{n^{3}+1}<\dfrac{1}{n^{3}} para n\ge1. Como \dfrac{1}{n^{3}}\to0, isso mostra que \left|a_{n}-1\right|\to0, ou seja, a_{n}\to1.
Passo 5
Eis uma prova \varepsilon-N rápida (padrão de rigor, caso peçam): dado \varepsilon>0, queremos N tal que para todo n\ge N valha \left|a_{n}-1\right|<\varepsilon. Como
basta ter \dfrac{1}{n^{3}}<\varepsilon, isto é n> \varepsilon^{-1/3}. Logo escolhendo
N=\left\lceil \varepsilon^{-1/3}\right\rceil
temos que para todo n\ge N vale \left|a_{n}-1\right|<\varepsilon. Isso conclui formalmente que \lim_{n\to\infty}a_{n}=1.
Passo 6
Comentário extra (intuitivo e útil para provas): a sequência é limitada e monótona crescente. Uma forma de ver monotonicidade é considerar a função contínua f(x)=\dfrac{x^{3}}{x^{3}+1} para x>0. Calculando a derivada
logo f é estritamente crescente em (0,\infty) e, portanto, a sequência a_n=f(n) é crescente. Além disso a_n<1 para todo n. Logo a sequência é monótona crescente e limitada superiormente por 1, pelo que converge; o limite deve ser o menor majorante (supremo) que aqui é 1. Isso reforça o resultado anterior.