Calcule os seguintes limites, começando por identificar, caso exista, o tipo de indeterminação.
lim x +infty raizx+1-raizxx

Passo 1

Neste problema a gente tem que calcular limx to +infty raizx+1-raizxx. O conteúdo envolve limites no infinito com raízes, e para resolver vamos reconhecer a indeterminação e usar a técnica de racionalização do numerador.

Passo 2

Quando xto +infty, temos raizx+1to +infty e raizxto +infty, logo o numerador é do tipo infty - infty, uma forma indeterminada. Precisamos eliminar essa indeterminação.

Passo 3

Para tirar a indeterminação, racionalizamos o numerador usando o conjugado. Multiplicamos numerador e denominador por raizx+1 + raizx. Temos:
raizx+1-raizxx cdot raizx+1+raizxraizx+1+raizx = (raizx+1)^2 - (raizx)^2x(raizx+1+raizx) = x+1 - xx(raizx+1+raizx) = 1x(raizx+1+raizx)

Passo 4

Agora simplificamos a expressão e extraímos fatores de x dentro da raiz. Escrevendo raizx+1 = raizxraiz1+1/x, obtemos:
1x(raizx+1+raizx) = 1xl(raizxraiz1+1/x + raizxr) = 1xraizxl(raiz1+1/x + 1r) = 1x^3/2l(raiz1+1/x + 1r)

Passo 5

Para finalizar, observamos que quando xto+infty, temos raiz1+1/xto 1, então o denominador cresce como x^3/2cdot 2to+infty. Logo a expressão inteira tende a zero.

Resposta

0

Exercícios relacionados