Calcule os seguintes limites:
Passo 1
Enunciado: Temos a série de Fourier
O conteúdo aqui é soma de séries de cossenos de índices ímpares. Vamos precisar usar uma identidade conhecida para
Passo 2
Reescrevemos a série definindo
t = \frac{\pi x}{2},
assim
t = \frac{\pi x}{2},
assim
com
.
Passo 3
Aplicamos a identidade (válida para
):
Essa fórmula pode ser obtida a partir da expansão em série de
ou integrando term a termo.
Passo 4
Substituímos
em
:
Portanto, para
tal que
, isto é,
, temos
.
Passo 5
Observe que a série só envolve
, então
é função par e de período
. No intervalo
ela vale
e se estende com período
para todo
.
Resposta
A série converge à função triangular periódica de período 4 dada por
para
(e então repetida com período 4).