Calcule os seguintes limites:
d) f(x)=1+8pi^2 sumn=1^infty 1(2 n-1)^2 cos ((2 n-1) pi x2)

Passo 1

Enunciado: Temos a série de Fourier
f(x)=1+8pi^2sumn=1^infty1(2n-1)^2cosl((2n-1)pi x2r)
O conteúdo aqui é soma de séries de cossenos de índices ímpares. Vamos precisar usar uma identidade conhecida para
S(t)=sumn=1^infty1(2n-1)^2cosl((2n-1)tr)

Passo 2

Reescrevemos a série definindo
t = \frac{\pi x}{2},
assim
f(x)=1+8pi^2,S(t),
com t=pi x/2.

Passo 3

Aplicamos a identidade (válida para 0<= t<=pi):
S(t)=sumn=1^infty1(2n-1)^2cosl((2n-1)tr)=pi^28-pi,t4
Essa fórmula pode ser obtida a partir da expansão em série de t^2 ou integrando term a termo.

Passo 4

Substituímos S(t) em f(x):
f(x)=1+8pi^2l(pi^28-pi4,tr)=1+1-8pi^2cdotpi4cdotpi x2=2-x
Portanto, para x tal que t=pi x/2in[0,pi], isto é, xin[0,2], temos f(x)=2-x.

Passo 5

Observe que a série só envolve cos, então f(x) é função par e de período 4. No intervalo [-2,2] ela vale
f(x)=2-|x|,
e se estende com período 4 para todo x.

Resposta

A série converge à função triangular periódica de período 4 dada por
f(x)=2-|x|,
para xin[-2,2] (e então repetida com período 4).

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