Calcule os seguintes limites:
Passo 1
A questão define uma função por séries infinitas e nos pede para encontrar uma expressão fechada para
$$
f(x)=\frac{\pi}{4}+\frac{2}{\pi}\Bigl(\frac{\cos x}{1^{2}}+\frac{\cos 3x}{3^{2}}+\frac{\cos 5x}{5^{2}}+\cdots\Bigr)-\Bigl(\frac{\sin x}{1}+\frac{\sin 2x}{2}+\frac{\sin 3x}{3}+\cdots\Bigr)$$
Conteúdo: séries de Fourier clássicas. Vamos usar duas fórmulas conhecidas para séries trigonométricas e depois combinar tudo.
Conteúdo: séries de Fourier clássicas. Vamos usar duas fórmulas conhecidas para séries trigonométricas e depois combinar tudo.
Passo 2
Para a soma da série de senos, usamos que, para
, vale
Passo 3
Para a série de cossenos ímpares ao quadrado, sabemos que, para
,
Passo 4
Substituímos essas somas em
. Primeiro, calcule
Passo 5
Agora monte
:
Simplificando, os termos
e
se cancelam, sobrando
Resposta
f(x)=\frac{x^{2}}{4\pi}