Calcule os seguintes limites:
c) f(x)=pi4+2pi(cos x1^2+cos 3 x3^2+cos 5 x5^2+cdots)-(sen x1+sen 2 x2+sen 3 x3+cdots)

Passo 1

A questão define uma função por séries infinitas e nos pede para encontrar uma expressão fechada para
$$
f(x)=\frac{\pi}{4}+\frac{2}{\pi}\Bigl(\frac{\cos x}{1^{2}}+\frac{\cos 3x}{3^{2}}+\frac{\cos 5x}{5^{2}}+\cdots\Bigr)-\Bigl(\frac{\sin x}{1}+\frac{\sin 2x}{2}+\frac{\sin 3x}{3}+\cdots\Bigr)$$
Conteúdo: séries de Fourier clássicas. Vamos usar duas fórmulas conhecidas para séries trigonométricas e depois combinar tudo.

Passo 2

Para a soma da série de senos, usamos que, para xin(0,2pi), vale
sumn=1^inftysin(nx)n=pi - x2

Passo 3

Para a série de cossenos ímpares ao quadrado, sabemos que, para xin[0,2pi],
sumk=1^inftycosl((2k-1)xr)(2k-1)^2=pi^28-pi x4+x^28

Passo 4

Substituímos essas somas em f(x). Primeiro, calcule
2pil(sumk=1^inftycos((2k-1)x)(2k-1)^2r) =2pil(pi^28-pi x4+x^28r) =pi4-x2+x^24pi

Passo 5

Agora monte f(x):
f(x)=pi4+l(pi4-x2+x^24pir)-pi - x2
Simplificando, os termos pi4+pi4-pi2=0 e -x2+x2=0 se cancelam, sobrando
f(x)=x^24pi

Resposta

f(x)=\frac{x^{2}}{4\pi}

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