Localize todos os máximos e mínimos absolutos, se houver, por inspeção. Então verifique sua resposta usando cálculo.
b)
b)
Passo 1
Nesse problema queremos achar todos os máximos e mínimos absolutos da função
. O assunto principal aqui é extremos de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos fazer uma inspeção geométrica do gráfico e depois usar cálculo: achar o gradiente, pontos críticos e aplicar o teste da segunda derivada.
Passo 2
Observando a forma da função como 1 menos a soma de quadrados, reconhecemos que quanto mais longe da origem, maior será
e menor será
. Ou seja, o maior valor de
ocorre onde
é mínimo, isto é, no ponto
, com
. Como
pode crescer sem limite,
tende a
quando
, então não existe mínimo absoluto.
Passo 3
Para conferir pelo cálculo, calculamos o gradiente
Igualando a zero,
dá único ponto crítico
.
Passo 4
Agora aplicamos o teste da segunda derivada: montamos a matriz Hessiana
O determinante é
e
, indicando ponto de máximo local em
.
Passo 5
Como já vimos na inspeção que esse valor é o maior possível e que não há nenhum outro ponto crítico, concluímos que
é na verdade um máximo absoluto. Não existe mínimo absoluto, pois
sem se estabilizar.
Resposta
O ponto
é um máximo absoluto de valor
. A função não possui mínimo absoluto, pois tende a
quando
.