Localize todos os máximos e mínimos absolutos, se houver, por inspeção. Então verifique sua resposta usando cálculo.
b) f(x, y)=1-x^2-y^2

Passo 1

Nesse problema queremos achar todos os máximos e mínimos absolutos da função f(x,y)=1 - x^2 - y^2. O assunto principal aqui é extremos de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos fazer uma inspeção geométrica do gráfico e depois usar cálculo: achar o gradiente, pontos críticos e aplicar o teste da segunda derivada.

Passo 2

Observando a forma da função como 1 menos a soma de quadrados, reconhecemos que quanto mais longe da origem, maior será x^2 + y^2 e menor será f. Ou seja, o maior valor de f ocorre onde x^2 + y^2 é mínimo, isto é, no ponto (0,0), com f(0,0)=1. Como x^2 + y^2 pode crescer sem limite, f tende a -infty quando |(x,y)|toinfty, então não existe mínimo absoluto.

Passo 3

Para conferir pelo cálculo, calculamos o gradiente
nabla f(x,y) = (partial fpartial x,,partial fpartial y) = (-2x,,-2y)
Igualando a zero, (-2x,-2y)=(0,0) dá único ponto crítico (0,0).

Passo 4

Agora aplicamos o teste da segunda derivada: montamos a matriz Hessiana
H(f) = fxx & fxy fyx & fyy = -2 & 0 0 & -2
O determinante é det H = (-2)(-2)-0 = 4 > 0 e fxx = -2 < 0, indicando ponto de máximo local em (0,0).

Passo 5

Como já vimos na inspeção que esse valor é o maior possível e que não há nenhum outro ponto crítico, concluímos que (0,0) é na verdade um máximo absoluto. Não existe mínimo absoluto, pois fto -infty sem se estabilizar.

Resposta

O ponto (0,0) é um máximo absoluto de valor f(0,0)=1. A função não possui mínimo absoluto, pois tende a -infty quando |(x,y)|toinfty.

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