Em cada item, determine as derivadas parciais de segunda ordem da função f no ponto P. Sugestão. Utilize o exercício anterior.
(b) f(x, y, z)=x^3 y z^2+3 x^2 y^2 z^2-5 y^3 z^3, P=(1,0,-1).
5
Em cada item, determine a matriz hessiana de f no ponto P. Sugestão. Utilize o exercício anterior.
(a) f(x, y)=y2 x+3 y, P=(0,1).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (b) calcular todas as derivadas parciais de segunda ordem de
f(x,y,z)=x^3yz^2+3x^2y^2z^2-5y^3z^3 no ponto P=(1,0,-1), e (a) obter a matriz Hessiana de
f(x,y)=y2x+3y no ponto P=(0,1). Vamos usar regras de derivação (produto, potência e quociente) e avaliar os resultados nos pontos dados.

Passo 2

Primeiro para f(x,y,z): calculamos as derivadas parciais de primeira ordem
fx=3x^2yz^2+6xy^2z^2,
fy=x^3z^2+6x^2yz^2-15y^2z^3,
fz=2x^3yz+6x^2y^2z-15y^3z^2

Passo 3

Ainda em f(x,y,z), derivamos novamente para obter as segundas parciais e avaliamos em (1,0,-1):
fxx=6yz^2(x+y)|(1,0,-1)=0,
fxy=3x^2z^2+12xyz^2|(1,0,-1)=3,
fxz=6xyz(x+2y)|(1,0,-1)=0,
fyy=6x^2z^2-30yz^3|(1,0,-1)=6,
fyz=2x^3z+12x^2yz-45y^2z^2|(1,0,-1)=-2,
fzz=2x^3y+6x^2y^2-30y^3z|(1,0,-1)=0

Passo 4

Agora para f(x,y)=dfracy2x+3y: primeiro derivadas de primeira ordem usando produto/quociente:
fx=-2y(2x+3y)^-2,
fy=(2x+3y)^-1-3y(2x+3y)^-2= rac2x(2x+3y)^2

Passo 5

Finalmente derivamos de novo para obter as segundas parciais e montamos a Hessiana em (0,1):
fxx=8y(2x+3y)^-3|(0,1)= frac827,
fxy=2(-2x+3y)(2x+3y)^-3|(0,1)= frac29,
fyy=-12x(2x+3y)^-3|(0,1)=0

Passo 6

Como fxy=fyx, a matriz Hessiana é
Hf(0,1)= 8/27 & 2/9 2/9 & 0

Resposta

Para f(x,y,z)=x^3yz^2+3x^2y^2z^2-5y^3z^3 em P=(1,0,-1):
fxx=0, fxy=3, fxz=0, fyy=6, fyz=-2, fzz=0.
Para f(x,y)=dfracy2x+3y em P=(0,1),
Hf(0,1)=8/27 & 2/92/9 & 0.

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