Em cada item, determine as derivadas parciais de segunda ordem da função no ponto . Sugestão. Utilize o exercício anterior.
(b) .
5
Em cada item, determine a matriz hessiana de no ponto . Sugestão. Utilize o exercício anterior.
(a) .
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (b) calcular todas as derivadas parciais de segunda ordem de no ponto , e (a) obter a matriz Hessiana de no ponto . Vamos usar regras de derivação (produto, potência e quociente) e avaliar os resultados nos pontos dados.
Passo 2
Primeiro para : calculamos as derivadas parciais de primeira ordem
Passo 3
Ainda em , derivamos novamente para obter as segundas parciais e avaliamos em :
fxy=3x^2z^2+12xyz^2|(1,0,-1)=3,
fxz=6xyz(x+2y)|(1,0,-1)=0,
fyy=6x^2z^2-30yz^3|(1,0,-1)=6,
fyz=2x^3z+12x^2yz-45y^2z^2|(1,0,-1)=-2,
fzz=2x^3y+6x^2y^2-30y^3z|(1,0,-1)=0
Passo 4
Agora para f(x,y)=dfracy2x+3y: primeiro derivadas de primeira ordem usando produto/quociente:
fx=-2y(2x+3y)^-2,
fy=(2x+3y)^-1-3y(2x+3y)^-2=rac2x(2x+3y)^2
Passo 5
Finalmente derivamos de novo para obter as segundas parciais e montamos a Hessiana em (0,1):
fxx=8y(2x+3y)^-3|(0,1)= frac827,
fxy=2(-2x+3y)(2x+3y)^-3|(0,1)= frac29,
fyy=-12x(2x+3y)^-3|(0,1)=0
Passo 6
Como fxy=fyx, a matriz Hessiana é
Hf(0,1)= 8/27 & 2/9 2/9 & 0
Resposta
Para f(x,y,z)=x^3yz^2+3x^2y^2z^2-5y^3z^3 em P=(1,0,-1): fxx=0, fxy=3, fxz=0, fyy=6, fyz=-2, fzz=0.
Para f(x,y)=dfracy2x+3y em P=(0,1), Hf(0,1)=8/27 & 2/92/9 & 0.